Stetige Funktion: Unterschied zwischen den Versionen

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==Beispiele==

===Unstetige ~~Funktionen~~===

===Unstetige Funktion===

[[Datei:StetigkeitUnstetigeFunktion.png|mini|Graph der unstetigen Funktion <math>f(x)=\begin{cases}

x, & \text{wenn }x\le 1\\

Zeile 34:

\end{cases}</math>

springt an der Stelle <math>x=1</math> vom Funktionswert 1 auf den Funktionswert 2. Am Graph erkennen wir bereits, dass <math>f</math> ~~nicht stetig~~ ist.

springt an der Stelle <math>x=1</math> vom Funktionswert 1 auf den Funktionswert 2. Am Graph erkennen wir bereits, dass <math>f</math> in <math>x_0=1</math> unstetig ist.

====Kontraposition====

Zeile 41:

Wir wählen nun ein <math>\epsilon < 1</math>. Wir wählen <math>x = 1 + \frac{\delta}{2}</math> und erhalten wir <math>|f(x) - f(1)| = |1 + \frac{\delta}{2} + 1 - 1| =1 + \frac{\delta}{2}</math>, was größer als <math>\epsilon</math> ist, da <math>\epsilon < 1</math>.

Das bedeutet, dass es kein <math>\delta > 0</math> geben kann, das <math>|f(x) - f(1)| < \epsilon</math> sicherstellt, wenn <math>x > 1</math>~~. Daher ist <math>f</math> an der Stelle <math>x_0 = 1</math> unstetig~~.

Das bedeutet, dass es kein <math>\delta > 0</math> geben kann, das <math>|f(x) - f(1)| < \epsilon</math> sicherstellt, wenn <math>x > 1</math>.

====Fallunterscheidung====

Zeile 102:

Da die Grenzwerte von links und von rechts nicht übereinstimmen (<math>1 \neq 2</math>), existiert der Grenzwert <math>\lim_{x \to 1} f(x)</math> nicht.

===Stetige ~~Funktionen~~===

===Stetige Funktion===

[[Datei:StetigkeitLineareFunktion.png|mini|Graph der stetigen Funktion <math>f(x)=x</math>]]

Die Funktion <math>f(x) = x</math> ist an jeder Stelle <math>x_0 \in \mathbb {R}</math> stetig. Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung.

Der Funktionswert an einer Stelle <math>x_0</math> ist:

<math>

f(x_0) = x_0

</math>

Für <math>f(x) = x</math> gilt:

<math>

|f(x) - f(x_0)| = |x - x_0|

</math>

Da wir wollen, dass <math>|f(x) - f(x_0)| < \epsilon</math> gilt, müssen wir sicherstellen, dass:

<math>

|x - x_0| < \delta \implies |x - x_0| < \epsilon

</math>

Hier sehen wir, dass wir einfach <math>\delta = \epsilon</math> wählen können. Das bedeutet, dass für jedes <math>\epsilon > 0</math> ein entsprechendes <math>\delta = \epsilon</math> existiert, sodass die Bedingung <math>|x - x_0| < \delta</math> garantiert, dass <math>|f(x) - f(x_0)| < \epsilon</math> erfüllt ist.

Da wir für jedes <math>\epsilon > 0</math> ein <math>\delta = \epsilon</math> finden können, das die Bedingung des <math>\epsilon</math>-<math>\delta</math>-Kriteriums erfüllt, ist die Funktion <math>f(x) = x</math> an jeder Stelle <math>x_0</math> '''stetig'''.

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

[[Kategorie:AHR WuV Mathe GK]]

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 ==Beispiele==
-===Unstetige Funktionen===
+===Unstetige Funktion===
 [[Datei:StetigkeitUnstetigeFunktion.png|mini|Graph der unstetigen Funktion <math>f(x)=\begin{cases}
    x,   & \text{wenn }x\le 1\\
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 \end{cases}</math>
-springt an der Stelle <math>x=1</math> vom Funktionswert 1 auf den Funktionswert 2. Am Graph erkennen wir bereits, dass <math>f</math> nicht stetig ist.
+springt an der Stelle <math>x=1</math> vom Funktionswert 1 auf den Funktionswert 2. Am Graph erkennen wir bereits, dass <math>f</math> in <math>x_0=1</math> unstetig ist.
 ====Kontraposition====
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 Wir wählen nun ein <math>\epsilon < 1</math>. Wir wählen <math>x = 1 + \frac{\delta}{2}</math> und erhalten wir <math>|f(x) - f(1)| = |1 + \frac{\delta}{2} + 1 - 1| =1 + \frac{\delta}{2}</math>, was größer als <math>\epsilon</math> ist, da <math>\epsilon < 1</math>.
-Das bedeutet, dass es kein <math>\delta > 0</math> geben kann, das <math>|f(x) - f(1)| < \epsilon</math> sicherstellt, wenn <math>x > 1</math>. Daher ist <math>f</math> an der Stelle <math>x_0 = 1</math> unstetig.
+Das bedeutet, dass es kein <math>\delta > 0</math> geben kann, das <math>|f(x) - f(1)| < \epsilon</math> sicherstellt, wenn <math>x > 1</math>.
 ====Fallunterscheidung====
@@ Zeile 102: / Zeile 102: @@
 Da die Grenzwerte von links und von rechts nicht übereinstimmen (<math>1 \neq 2</math>), existiert der Grenzwert <math>\lim_{x \to 1} f(x)</math> nicht.
-===Stetige Funktionen===
+===Stetige Funktion===
+[[Datei:StetigkeitLineareFunktion.png|mini|Graph der stetigen Funktion <math>f(x)=x</math>]]
+Die Funktion <math>f(x) = x</math> ist an jeder Stelle <math>x_0 \in \mathbb {R}</math> stetig. Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung.
+Der Funktionswert an einer Stelle <math>x_0</math> ist:
+<math>
+f(x_0) = x_0
+</math>
+Für <math>f(x) = x</math> gilt:
+<math>
+|f(x) - f(x_0)| = |x - x_0|
+</math>
+Da wir wollen, dass <math>|f(x) - f(x_0)| < \epsilon</math> gilt, müssen wir sicherstellen, dass:
+<math>
+|x - x_0| < \delta \implies |x - x_0| < \epsilon
+</math>
+Hier sehen wir, dass wir einfach <math>\delta = \epsilon</math> wählen können. Das bedeutet, dass für jedes <math>\epsilon > 0</math> ein entsprechendes <math>\delta = \epsilon</math> existiert, sodass die Bedingung <math>|x - x_0| < \delta</math> garantiert, dass <math>|f(x) - f(x_0)| < \epsilon</math> erfüllt ist.
+Da wir für jedes <math>\epsilon > 0</math> ein <math>\delta = \epsilon</math> finden können, das die Bedingung des <math>\epsilon</math>-<math>\delta</math>-Kriteriums erfüllt, ist die Funktion <math>f(x) = x</math> an jeder Stelle <math>x_0</math> '''stetig'''.
+[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
+[[Kategorie:AHR WuV Mathe GK]]