Stetige Funktion: Unterschied zwischen den Versionen

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 ==Beispiele==
-===Unstetige Funktionen===
+===Unstetige Funktion===
 [[Datei:StetigkeitUnstetigeFunktion.png|mini|Graph der unstetigen Funktion <math>f(x)=\begin{cases}
    x,   & \text{wenn }x\le 1\\
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 \end{cases}</math>
-springt an der Stelle <math>x=1</math> vom Funktionswert 1 auf den Funktionswert 2.
+springt an der Stelle <math>x=1</math> vom Funktionswert 1 auf den Funktionswert 2. Am Graph erkennen wir bereits, dass <math>f</math> in <math>x_0=1</math> unstetig ist.
-===Stetige Funktionen===
+====Kontraposition====
+Wenn die Funktion stetig an <math>x_0 = 1</math> wäre, müsste es für jedes <math>\epsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> geben, sodass <math>|f(x) - f(1)| < \epsilon</math> für alle <math>x</math> mit <math>|x - 1| < \delta</math> gilt.
+Wir wählen nun ein <math>\epsilon < 1</math>. Wir wählen <math>x = 1 + \frac{\delta}{2}</math> und erhalten wir <math>|f(x) - f(1)| = |1 + \frac{\delta}{2} + 1 - 1| =1 + \frac{\delta}{2}</math>, was größer als <math>\epsilon</math> ist, da <math>\epsilon < 1</math>.
+Das bedeutet, dass es kein <math>\delta > 0</math> geben kann, das <math>|f(x) - f(1)| < \epsilon</math> sicherstellt, wenn <math>x > 1</math>.
+====Fallunterscheidung====
+'''Fall 1: <math>x \leq 1</math>'''
+Für <math>x \leq 1</math> ist <math>f(x) = x</math>. Wir haben:
+<math>
+|f(x) - f(1)| = |x - 1|
+</math>
+Da <math>|x - 1| < \delta</math>, können wir <math>|f(x) - f(1)| < \epsilon</math> machen, indem wir <math>\delta = \epsilon</math> wählen. In diesem Fall ist die Bedingung des <math>\epsilon</math>-<math>\delta</math>-Kriteriums erfüllt.
+'''Fall 2: <math>x > 1</math>'''
+Für <math>x > 1</math> ist <math>f(x) = x + 1</math>. Wir haben:
+<math>
+|f(x) - f(1)| = |(x + 1) - 1| = |x|
+</math>
+Nun setzen wir <math>x = 1 + h</math> für <math>h > 0</math> ein:
+<math>
+|f(x) - f(1)| = |(1 + h) + 1 - 1| = |1 + h| = 1 + h
+</math>
+Da <math>h > 0</math> ist, ist <math>|f(x) - f(1)| = 1 + h</math>. Wir können also zeigen, dass für jedes <math>\delta</math> die Differenz <math>|f(x) - f(1)| \geq 1</math> sein kann.
+====Grenzwertbetrachtung====
+'''Grenzwert von links (<math>x \to 1^−</math>)'''
+Für <math>x \leq 1</math> ist <math>f(x) = x</math>. Der Grenzwert von links ist:
+<math>
+\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x = 1
+</math>
+'''Grenzwert von rechts (<math>x \to 1^+</math>)'''
+Für <math>x > 1</math> ist <math>f(x) = x + 1</math>. Der Grenzwert von rechts ist:
+<math>
+\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 1 + 1 = 2
+</math>
+'''Vergleich der Grenzwerte'''
+Für Stetigkeit muss gelten:
+<math>
+\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)
+</math>
+Aber in unserem Fall haben wir:
+<math>
+\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 \quad \text{und} \quad \lim_{x \to 1^+} f(x) = 2
+</math>
+Da die Grenzwerte von links und von rechts nicht übereinstimmen (<math>1 \neq 2</math>), existiert der Grenzwert <math>\lim_{x \to 1} f(x)</math> nicht.
+===Stetige Funktion===
+[[Datei:StetigkeitLineareFunktion.png|mini|Graph der stetigen Funktion <math>f(x)=x</math>]]
+Die Funktion <math>f(x) = x</math> ist an jeder Stelle <math>x_0 \in \mathbb {R}</math> stetig. Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung.
+Der Funktionswert an einer Stelle <math>x_0</math> ist:
+<math>
+f(x_0) = x_0
+</math>
+Für <math>f(x) = x</math> gilt:
+<math>
+|f(x) - f(x_0)| = |x - x_0|
+</math>
+Da wir wollen, dass <math>|f(x) - f(x_0)| < \epsilon</math> gilt, müssen wir sicherstellen, dass:
+<math>
+|x - x_0| < \delta \implies |x - x_0| < \epsilon
+</math>
+Hier sehen wir, dass wir einfach <math>\delta = \epsilon</math> wählen können. Das bedeutet, dass für jedes <math>\epsilon > 0</math> ein entsprechendes <math>\delta = \epsilon</math> existiert, sodass die Bedingung <math>|x - x_0| < \delta</math> garantiert, dass <math>|f(x) - f(x_0)| < \epsilon</math> erfüllt ist.
+Da wir für jedes <math>\epsilon > 0</math> ein <math>\delta = \epsilon</math> finden können, das die Bedingung des <math>\epsilon</math>-<math>\delta</math>-Kriteriums erfüllt, ist die Funktion <math>f(x) = x</math> an jeder Stelle <math>x_0</math> '''stetig'''.
+[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
+[[Kategorie:AHR WuV Mathe GK]]