Median

Der Median ist ein wichtiges Maß für die zentrale Tendenz eines Datensatzes. Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel, das den Durchschnitt aller Werte berechnet, repräsentiert der Median den mittleren Wert, nachdem die Daten in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge sortiert wurden.

Wurden Merkmalsausprägungen zu einem quantitativen Merkmal erhoben und nach ihrer Größe sortiert, dann ist der Median bei einer ungeraden Anzahl an Merkmalsausprägungen die Merkmalsausprägung in der Mitte. Bei einer geraden Anzahl an Merkmalsausprägungen, wird der Durchschnitt der beiden mittleren Merkmalsausprägungen als Median bezeichnet.

Definition

Es sei eine Zahlenfolge [math]\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R} }[/math] mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] gegeben und nach ihrer Größe in nicht absteigender Reihenfolge geordnet, d. h. es gilt [math]\displaystyle{ x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n }[/math]. Ist die Anzahl [math]\displaystyle{ n }[/math] der Zahlenwerte ungerade, heißt der Zahlenwert [math]\displaystyle{ x_{\frac{n+1}{2}} }[/math] Median. Ist die Anzahl [math]\displaystyle{ n }[/math] der Zahlenwerte eine gerade Zahl, heißt der Wert [math]\displaystyle{ \frac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n+1}{2}}}{2} }[/math] Median.

Beispiele

Median für eine ungerade Anzahl an Zahlenwerten ermitteln

Die folgende Tabelle zeigt ein Beispiel für eine Urliste. Die Stichprobe besteht aus den betrachteten Schülern. Es wird für das quantitative Merkmal Körpergröße in cm der Median berechnet.

Schüler Nr.	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Körpergröße in cm	183	172	163	154	158	166	177	188	190

1. Ordnen der Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm ergibt: 154; 158; 163; 166; 172; 177; 183; 188; 190
2. Die Anzahl der Merkmalsausprägungen ist ungerade, da der Erhebungsumfang 9 beträgt.
3. Der Median ist 172 und befindet sich an der Stelle [math]\displaystyle{ \frac{9+1}{2}=5 }[/math].

Median für eine ungerade Anzahl an Zahlenwerten ermitteln

Fügen wir noch einen 10. Schüler mit der Körpergröße 154 cm hinzu, so erhalten wir die folgende Urliste:

Schüler Nr.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Körpergröße in cm	183	172	163	154	158	166	177	188	190	154

1. Ordnen der Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm ergibt: 154; 154; 158; 163; 166; 172; 177; 183; 188; 190
2. Die Anzahl der Merkmalsausprägungen ist gerade, da der Erhebungsumfang 10 beträgt.
3. Die Zahlenwerte in der Mitte sind an den Stellen [math]\displaystyle{ \frac{10}{2}=5 }[/math] und [math]\displaystyle{ \frac{10}{2}+1=6 }[/math]. Dort stehen die Werte 166 und 172, von denen wir den Durchschnitt berechnen. Der Median ist dann [math]\displaystyle{ \frac{166+172}{2}=169 }[/math].