Grenzerlösfunktion

Mit Hilfe der Grenzerlösfunktion werden die Grenzerlöse für eine Verkaufsmenge ermittelt. Die Grenzerlöse geben an, um wie viel sich der Gesamterlös ungefähr verändert, wenn sich die Verkaufsmenge minimal erhöht.

Definition

Die Ableitungsfunktion [math]\displaystyle{ E' }[/math] einer Erlösfunktion [math]\displaystyle{ E:\mathbb{D}_{ök} \rightarrow \mathbb{W}_E }[/math] nennt man Grenzerlösfunktion. [math]\displaystyle{ E'\left(x_0\right) }[/math] wird als Grenzerlös bzw. Erlöszuwachs in GE pro ME für die Verkaufsmenge [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] bezeichnet.

Beispiele

Lineare Erlösfunktion

Wir betrachten die Erlösfunktion [math]\displaystyle{ E(x)=5x }[/math]. Die Grenzerlösfunktion ist dann [math]\displaystyle{ E'(x)=5 }[/math]. Damit entspricht die Grenzerlösfunktion genau der Steigung der Erlösfunktion. Für jedes [math]\displaystyle{ x_0 \in \mathbb{R} }[/math] beträgt der Erlöszuwachs 5 GE pro ME. Der Verkauf von 4 ME bringt insgesamt [math]\displaystyle{ E(4)=5 \cdot 4=20 }[/math] GE. Der Verkauf von 5 ME bringt dann [math]\displaystyle{ E(5)=5 \cdot 5=25 }[/math] GE. Alternativ können wir in diesem Fall 20 GE + 5 GE = 25 GE rechnen, da der Erlöszuwachs pro ME 5 GE beträgt.

Quadratische Erlösfunktion

Wir betrachten die Erlösfunktion [math]\displaystyle{ E(x)=-x^2+6x }[/math]. Die Grenzerlösfunktion ist dann [math]\displaystyle{ E'(x)=-2x+6 }[/math]. Die Grenzerlöse für 1 ME betragen [math]\displaystyle{ E'(1)=-2 \cdot 1 + 6=4~\frac{GE}{ME} }[/math]. Die Grenzerlöse für 2 ME betragen [math]\displaystyle{ E'(2)=-2 \cdot 2 + 6=2~\frac{GE}{ME} }[/math]. In diesem Fall beträgt der Gesamterlös für 1 ME bzw. 2 ME genau [math]\displaystyle{ E(1)=-(1^2)+6 \cdot 1=5 }[/math] GE bzw. [math]\displaystyle{ E(2)=-(2^2)+6 \cdot 2=8 }[/math] GE. Hier können wir also nicht die Grenzerlöse bei 1 ME zu den Gesamterlösen für 1 ME addieren, um auf die Gesamterlöse für 2 ME zu kommen. Die Grenzerlöse geben nur an, um wie viel die Gesamterlöse ansteigen, wenn minimal mehr verkauft wird.