In der Mathematik ist ein Extremwert der Oberbegriff für ein lokales oder globales Maximum oder Minimum. Ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum ist der Wert der Funktion an einer Stelle, wenn in einer Umgebung um kein größerer oder kleinerer Funktionswert existiert.
Es sei ein Intervall, auf dem die Funktiondefiniert ist. Der Funktionswert heißt lokales Maximum von , wenn für alle gilt. Der Funktionswert heißt lokales Minimum von , wenn für alle gilt. heißt dann Maximalstelle bzw. Minimalstelle. Der Punkt heißt bei einem lokalen Maximum Hochpunkt und bei einem lokalen Minimum Tiefpunkt.
Gilt , dann heißt auch globales Maximum von bzw. globales Minimum von . Man nennt Hoch- und Tiefpunkte auch Extrempunkte. heißt dann Extremstelle und heißt dann Extremwert oder Extremum.
Extremwerte bestimmen
Extremwerte lassen sich mit Hilfe der Ableitungsfunktion bestimmen. Dafür werden die folgenden Bedingungen verwendet und anschließend wird der Extremwert berechnet. Im Folgenden sei differenzierbar mit und den Ableitungsfunktionen und .
Wenn an der Stelle eine Nullstelle hat und bei die -Achse schneidet, dann hat der Graph der Funktion an der Stelle einen Extrempunkt. Wechselt die Steigung bei von negativ zu positiv, liegt bei ein Minimum vor. Wechselt die Steigung bei von positiv zu negativ, liegt bei ein Maximum vor. Diese Bedingung heißt Vorzeichenwechselkriterium.
Alternativ können wir verwenden:
Ist und , dann hat der Graph der Funktion an der Stelle einen Extrempunkt. Gilt liegt ein Minimum vor. Gilt liegt ein Maximum vor.
Extremwert berechnen
Erfüllt ein die notwendige und die hinreichende Bedingung, dann ist eine Extremstelle. Der Extremwert wird dann durch berechnet.
Wir betrachten und im Intervall . Der Graph von ist grün und der Graph von ist blau. hat als Tiefpunkt und hat Punkt als Hochpunkt. Das lokale Minimum von ist . Das lokale Maximum von ist . In diesem Fall sind die Extrema auch global.
Notwendige Bedingung: kommt damit als Extremstelle in Frage.
Hinreichende Bedingung: Da und gilt, schneidet die -Achse bei und hat dort einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv. Alternativ gilt . Also besitzt der Graph von einen Tiefpunkt bei .
Extremwert berechnen: Setzen wir in ein, erhalten wir . Damit ist der Tiefpunkt.
Hinreichende Bedingung: Es gilt und . hat also einen Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ. Alternativ gilt . Also besitzt der Graph von einen Hochpunkt bei .
Extremwert berechnen: Damit ist ein Maximum und ein Hochpunkt.
Graphische Erläuterung der Berechnungen
ist Nullstelle von und Extremstelle von . hat außerdem bei einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv, das heißt der Graph zu fällt vor und steigt anschließend. Damit kann nur ein Minimum sein. Es gilt , damit ist die Steigung von in positiv. Da Nullstelle von ist, muss bei einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv haben.