Quadratische Funktion

Quadratische Funktionen sind ein wesentlicher Bestandteil der Analysis und damit ein Gebiet der Mathematik. Sie haben viele praktische Anwendungen in verschiedenen Bereichen wie Wirtschaft, Ingenieurwesen, Naturwissenschaften und Sozialwissenschaften und beschreiben die Beziehung zwischen zwei Variablen, die quadratisch miteinander verbunden sind, und können verwendet werden, um Trends, Muster und Veränderungen im Verhalten von Phänomenen zu analysieren und vorherzusagen.

Definition

Eine Funktion der Form $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ mit $a\ne 0$ heißt quadratische Funktion in Normalform, ihr Graph heißt Parabel. $a$ heißt Streckungsfaktor, wenn für den Betrag $|a|>1$ gilt und Stauchungsfaktor, wenn für den Betrag $|a|<1$ gilt.

Für $a>0$ ist die Parabel nach oben geöffnet, für $a<0$ ist die Parabel nach unten geöffnet. Der tiefste bzw. höchster Punkt heißt Scheitelpunkt oder Scheitel S. Der Graph von $f(x)=x^2$ heißt Normalparabel.

Beispiele

Quadratische Funktionen

Graph der Funktion $E(x)=-0,8x^2+4x$

Der Graph der Funktion $E(x)=-0,8x^2+4x$ mit dem Definitionsbereich ${\mathbb{D}}_E=[0;5]$ ist auf der rechten Seite dargestellt. Der Scheitelpunkt ist $S(2,5|5)$. Die Normalparabel wurde um den Faktor $-0,8$ gestaucht und ist nach unten geöffnet. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $(0|0)$.

Graph der Funktion $f(x)=x^2$

Der nächste Graph ist die Normalparabel zur Funktion $f(x)=x^2$ mit dem Scheitelpunkt $S(0|0)$ und wurde daher weder gestaucht, noch gestreckt, da $a=1$ ist. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $(0/0)$.

Graph der Funktion $f(x)=5x^2$

Der letzte Graph ist hat die Funktionsvorschrift $f(x)=5x^2$ mit dem Scheitelpunkt $S(0|0)$ und wurde daher um 5 Einheiten gestreckt, da $a=5$ ist. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $(0/0)$.

Nullstellenform

Eine Funktion der Form $f\left(x\right)=a(x-x_1)(x-x_2)$ heißt quadratische Funktion in Nullstellenform. Die Nullstellen sind $x_1$ und $x_2$.

Beispiel mit positiver und negativer Nullstelle

$x_1=3$ und $x_2=-4$ sind Nullstellen von $f$ mit $a=1$, dann ist $f\left(x\right)=1\cdot (x-3)\cdot (x+4)$ in Nullstellenform.

Beispiel mit positiven Nullstellen

$x_1=2$ und $x_2=6$ sind Nullstellen von $g$ mit $a=-3$, dann ist $g\left(x\right)=(-3)\cdot (x-2)\cdot (x-6)$ in Nullstellenform.

Scheitelpunktform

Eine Funktion der Form $f\left(x\right)=a({x-e)}^2+f$ mit $a\ne 0$ heißt quadratische Funktion in Scheitelpunktform. Der Scheitelpunkt ist $S(e|f)$. Der Faktor $a$ ist in der Scheitelpunktform und der Normalform der Gleiche.

Graph der Funktion $f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1$

Beispiel

Wir betrachten die Funktion $f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1$. Der Scheitelpunkt ist dann $S(2|1)$. Man kann die rechte Seite der Funktion weiter auflösen, um von der Scheitelpunktform zur Normalform zu kommen:

$f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1$

$f\left(x\right)=-2(x^2-4x+4)+1$

$f\left(x\right)=-2x^2+8x-8+1$

$f\left(x\right)=-2x^2+8x-7$

Der Graph der Funktion ist auf der rechten Seite aufgelistet. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $(0|-7)$.

Schnittpunkte von Parabeln und Geraden berechnen

Sind eine lineare Funktion $y=mx+b$ und eine quadratische Funktion $y=a{x}^2+bx+c$ gegeben, kann die Schnittstelle durch Gleichsetzen, $a{x}^2+bx+c=mx+b$, und Umformen nach x errechnet werden. Wurde so umgeformt, dass auf einer Seite eine 0 steht, kann die p-q-Formel angwendet werden und wir erhalten die Schnittstellen. Anschließend werden die dazugehörigen y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in die quadratische oder lineare Funktion berechnet. Für zwei quadratische Funktionen oder lineare Funktionen ist das Vorgehen analog.

Beispiele Schnittpunkte von Parabel und Gerade

Wir betrachten im Folgenden die drei Fälle für Schnittpunkte von Parabel und Gerade.

Parabel und Gerade haben keinen Schnittpunkt

Graphen der Funktionen ${f\left(x\right)=2x}^2+4x+4$ und $g\left(x\right)=-2x-1$ ohne Schnittpunkt

Wir betrachten ${f\left(x\right)=2x}^2+4x+4$ und $g\left(x\right)=-2x-1$. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen

${2x}^2+4x+4=-2x-1|+1$

${2x}^2+4x+5=-2x|+2x$

${2x}^2+6x+5=0|÷2$

$x^2+3x+2,5=0$

damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt p=3 und q=2,5. Diese Werte können wir in die p-q-Formel einsetzen: $x=-\frac{3}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2-2,5}=-1,5\pm \sqrt{-0,25}$

Aus negativen Zahlen können wir keine Wurzel ziehen, daher existiert keine Schnittstelle. Das lässt sich auch im Koordinatensystem erkennen.

Parabel und Gerade haben genau einen Schnittpunkt

Graphen der Funktionen ${f\left(x\right)=2x}^2+4x+4$ und $g\left(x\right)=-2x-0,5$ mit genau einem Schnittpunkt

Wir betrachten ${f\left(x\right)=2x}^2+4x+4$ und $g\left(x\right)=-2x-0,5$. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen

${2x}^2+4x+4=-2x-0,5|+0,5$

${2x}^2+4x+4,5=-2x|+2x$

${2x}^2+6x+4,5=0|÷2$

$x^2+3x+2,25=0$

damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt $p=3$ und $q=2,25$. Diese Werte können wir in die p-q-Formel einsetzen: $x=-\frac{3}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2-2,25}=-1,5\pm \sqrt{0}=-1,5$

Den y-Wert berechnen wir durch $g(-1,5)=-2\cdot (-1,5)-0,5=2,5$. Der Schnittpunkt ist damit $A(-1,5|2,5)$.

Parabel und Gerade haben zwei Schnittpunkte

Graphen der Funktionen ${f\left(x\right)=2x}^2+4x+4$ und $g\left(x\right)=-2x$ mit zwei Schnittpunkten

Wir betrachten ${f\left(x\right)=2x}^2+4x+4$ und $g\left(x\right)=-2x$. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen

${2x}^2+4x+4=-2x|+2x$

${2x}^2+6x+4=0|÷2$

$x^2+3x+2=0$

damit wir die p-q-Formel anwenden können. Es gilt $p=3$ und $q=2$. Diese Werte können wir in die p-q-Formel einsetzen:

$x_1=-\frac{3}{2}+\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2-2}=-1,5+\sqrt{0,25}=-1$

und

$x_2=-\frac{3}{2}-\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2-2}=-1,5-\sqrt{0,25}=-2$

Die y-Werte berechnen wir durch $g(-1)=-2\cdot (-1)=2$ und $g(-2)=-2\cdot (-2)=4$. Die Schnittpunkte sind damit $A(-1|2)$ und $B(-2|4)$.

Zwei Parabeln ohne Schnittpunkt

Graphen der Funktionen ${f\left(x\right)=2x}^2+4x+4$ und ${h\left(x\right)=-3x}^2-2x+1$ ohne Schnittpunkt

Betrachten wir zwei Parabeln, treten die gleichen drei Fälle wie oben auf. Wir betrachten hier nur den Fall, bei dem die Parabeln keine Schnittpunkte haben.

Wir betrachten ${f\left(x\right)=2x}^2+4x+4$ und ${h\left(x\right)=-3x}^2-2x+1$. Gleichsetzen der Funktionen liefert

$h(x)=f(x)$

$-3x^2-2x+1=2x^2+4x+4|-2x^2$

${-5x}^2-2x+1=4x+4|-4x$

${-5x}^2-6x+1=4|-4$

${-5x}^2-6x-3=0|÷(-5)$

$x^2+1,2x+0,6=0$

Es gilt $p=1,2$ und $q=0,6$.

Diese Werte können wir einsetzen:

$x=-\frac{1,2}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{1,2}{2}\right)}^2-0,6}=-0,6\pm \sqrt{-0,24}$

Der Wert unter der Wurzel ist negativ und damit existiert kein Schnittpunkt.