Matrix
Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Symbolen, die in Zeilen und Spalten organisiert ist. Matrizen dienen zur Darstellung und Berechnung linearer Zusammenhänge und werden in vielen Bereichen wie Wirtschaft, Technik, Informatik und Naturwissenschaften eingesetzt. Matrizen (insbesondere Verflechtungsmatrizen) werden häufig mit Gozintographen grafisch veranschaulicht.
Definition
Eine rechteckige Anordnung von Zahlen oder Platzhaltern mit \(m \in \mathbb{N}\) Zeilen und \(n \in \mathbb{N}\) Spalten wird als \(m \times n\)-Matrix bezeichnet. \(a_{ij} \in \mathbb{R}\) ist das Element in Zeile \(i\) und Spalte \(j\).
[math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} }[/math]
\(m \times n\) ist das Format oder die Dimension einer Matrix. Eine \(n \times n\)-Matrix heißt quadratische Matrix. Die Elemente \(a_{11}, \dots ,a_{nn}\) bilden die Hauptdiagonale der Matrix. Eine quadratische Matrix, deren Elemente auf der Hauptdiagonalen den Wert 1 haben und sonst überall 0 sind, heißt Einheitsmatrix. Eine Matrix, die nur aus einer Spalte besteht, heißt Spaltenvektor. Eine Matrix, die nur aus einer Zeile besteht, heißt Zeilenvektor.
Transponierte Matrix
Es sei
- [math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} }[/math]
eine \(m \times n\)-Matrix. Die transponierte Matrix \(A^T\) entsteht, indem man die Zeilen und Spalten vertauscht. Das Ergebnis ist eine \(n \times m\)-Matrix. Es gilt:
[math]\displaystyle{ A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} }[/math]
Addition
Zwei Matrizen lassen sich nur addieren, wenn sie das exakt gleiche Format haben. Es seien A und B \(m \times n\)-Matrizen, dann werden diese komponentenweise addiert:
- [math]\displaystyle{ A + B = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \dots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \dots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \dots & a_{mn}+b_{mn} \end{pmatrix} }[/math]
Subtraktion
Analog zur Addition gilt für die Subtraktion zweier \(m \times n\)-Matrizen A und B:
- [math]\displaystyle{ A - B = \begin{pmatrix} a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & \dots & a_{1n}-b_{1n} \\ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & \dots & a_{2n}-b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}-b_{m1} & a_{m2}-b_{m2} & \dots & a_{mn}-b_{mn} \end{pmatrix} }[/math]
Skalarmultiplikation
Eine Matrix wird mit einer reellen Zahl (Skalar) multipliziert, indem man jeden einzelnen Eintrag der Matrix mit dieser Zahl multipliziert. Es sei A eine \(m \times n\)-Matrix und \(\lambda \in \mathbb{R}\) ein Skalar, dann gilt:
- [math]\displaystyle{ \lambda \cdot A = \begin{pmatrix} \lambda \cdot a_{11} & \lambda \cdot a_{12} & \dots & \lambda \cdot a_{1n} \\ \lambda \cdot a_{21} & \lambda \cdot a_{22} & \dots & \lambda \cdot a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda \cdot a_{m1} & \lambda \cdot a_{m2} & \dots & \lambda \cdot a_{mn} \end{pmatrix} }[/math]
Skalarprodukt
Gegeben seien ein Zeilenvektor [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{R}^n }[/math] und ein Spaltenvektor [math]\displaystyle{ b \in \mathbb{R}^n }[/math] (beide Vektoren müssen dieselbe Dimension [math]\displaystyle{ n }[/math] haben), dann ist das Skalarprodukt definiert durch:
- [math]\displaystyle{ a\cdot b=\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + \dots + a_n \cdot b_n }[/math]
Multiplikation
Zwei Matrizen lassen sich nur miteinander multiplizieren, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist.
Es sei A eine \(m \times r\)-Matrix und B eine \(r \times n\)-Matrix. Dann wird das Produkt \(A \cdot B \) berechnet, indem das Skalarprodukt aus jedem Zeilenvektor von \(A\) mit jedem Spaltenvektor von \(B\) gebildet wird (Merkregel: "Zeile mal Spalte"). Zur besseren Übersicht verwendet man hierfür häufig das Falksche Schema. Das Ergebnis ist eine neue \(m \times n\)-Matrix.
Rang
Der Rang einer Matrix ist eine zentrale Kenngröße zur Analyse linearer Gleichungssysteme. Er gibt an, wie viele Zeilen (bzw. Spalten) einer Matrix linear unabhängig sind.
Formal ist der Rang einer Matrix [math]\displaystyle{ A }[/math] die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten von [math]\displaystyle{ A }[/math]. Man bezeichnet ihn mit [math]\displaystyle{ \operatorname{rang}(A) }[/math].
Der Rang kann mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens bestimmt werden:
- Man bringt die Matrix in Zeilenstufenform.
- Der Rang entspricht der Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen.
Inverse
Die Inverse einer Matrix \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) ist die eindeutige Matrix \( A^{-1} \), für die gilt:
- [math]\displaystyle{ A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n }[/math]
wobei \( I_n \) die Einheitsmatrix der Größe \( n \times n \) ist. Die Inverse kann unter anderem mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus berechnet werden.
Beispiele
Aufstellen einer Transportmatrix und einer Kostenmatrix
Ein Unternehmen betreibt drei Steinbrüche (S1 bis S3) und zwei Betonwerke (B1 und B2). Die in einem Monat transportierten Mengen Kies (in t) sowie die Transportkosten (in €/t) sind tabellarisch gegeben:
| Transport | B1 | B2 |
|---|---|---|
| S1 | 100 | 200 |
| S2 | 150 | 300 |
| S3 | 90 | 110 |
| Kosten | B1 | B2 |
|---|---|---|
| S1 | 0,5 | 2 |
| S2 | 0,3 | 1 |
| S3 | 0,4 | 0,25 |
Daraus ergibt sich die Transportmatrix [math]\displaystyle{ T }[/math] und die Kostenmatrix [math]\displaystyle{ K }[/math]:
- [math]\displaystyle{ T = \begin{pmatrix} 100 & 200 \\ 150 & 300 \\ 90 & 110 \\ \end{pmatrix}, \quad K = \begin{pmatrix} 0,5 & 2 \\ 0,3 & 1 \\ 0,4 & 0,25 \\ \end{pmatrix} }[/math]
Aufstellen von Herstellungsmatrizen
Ein Unternehmen stellt aus Rohstoffen (R1, R2) über Zwischenprodukte (Z1, Z2, Z3) schließlich Endprodukte (E1, E2) her.
| Stückliste 1 | Z1 | Z2 | Z3 |
|---|---|---|---|
| R1 | 3 | 2 | 4 |
| R2 | 5 | 1 | 3 |
| Stückliste 2 | E1 | E2 |
|---|---|---|
| Z1 | 1 | 3 |
| Z2 | 2 | 4 |
| Z3 | 1 | 2 |
Damit ergeben sich die Herstellungsmatrix [math]\displaystyle{ RZ }[/math] (Rohstoffe zu Zwischenprodukten) und [math]\displaystyle{ ZE }[/math] (Zwischenprodukte zu Endprodukten):
- [math]\displaystyle{ RZ = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad ZE = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} }[/math]
Transponierte Matrix berechnen
Gegeben sei die Matrix [math]\displaystyle{ A }[/math]. Durch Vertauschen von Zeilen und Spalten erhält man [math]\displaystyle{ A^T }[/math]:
- [math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} }[/math]
Addition und Subtraktion von Matrizen
Gegeben seien [math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} }[/math] dann wird die Summe durch komponentenweise Addition berechnet:
- [math]\displaystyle{ A + B = \begin{pmatrix} 1+5 & 3+2 \\ 2+1 & 4+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} }[/math]
Gegeben seien [math]\displaystyle{ C = \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} }[/math] dann wird die Differenz von C und D durch komponentenweise Subtraktion berechnet:
- [math]\displaystyle{ C - D = \begin{pmatrix} 7-3 & 4-1 \\ 6-2 & 2-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} }[/math]
Skalarmultiplikation durchführen
Gegeben sei die Matrix [math]\displaystyle{ B }[/math] und der Skalar [math]\displaystyle{ \lambda = 3 }[/math]. Die Multiplikation ergibt:
- [math]\displaystyle{ 3 \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 0 & 3 & 5 \\ 7 & 1 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 & 3 \cdot 4 & 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 5 \\ 3 \cdot 7 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 12 & 3 \\ 0 & 9 & 15 \\ 21 & 3 & 18 \end{pmatrix} }[/math]
Das Skalarprodukt berechnen
Der Zeilenvektor [math]\displaystyle{ a }[/math] und der Spaltenvektor [math]\displaystyle{ b }[/math] seien wie folgt gegeben:
- [math]\displaystyle{ a = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} }[/math]
Das Skalarprodukt wird dann berechnet durch:
- [math]\displaystyle{ a \cdot b = (2 \cdot 4) + (-1 \cdot 2) + (3 \cdot 1) = 8 - 2 + 3 = 9 }[/math]
Multiplikation von Matrizen
Gegeben seien die Matrizen [math]\displaystyle{ E = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad F = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} }[/math]. Diese werden nach dem Prinzip "Zeile mal Spalte" multipliziert:
- [math]\displaystyle{ E \cdot F = \begin{pmatrix} 1\cdot2 + 2\cdot1 & 1\cdot0 + 2\cdot3 \\ 3\cdot2 + 4\cdot1 & 3\cdot0 + 4\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} }[/math]
Wichtig: Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ, d. h. im Allgemeinen gilt [math]\displaystyle{ E \cdot F \neq F \cdot E }[/math].
Kombination von Skalarmultiplikation und Addition
Gegeben seien: [math]\displaystyle{ G = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad H = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad \lambda = 2 }[/math] Kombinierte Berechnung gemäß Klammerregeln (zuerst addieren, dann mit dem Skalar multiplizieren):
- [math]\displaystyle{ 2 \cdot (G + H) = 2 \cdot \left( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \right) = 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 10 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} }[/math]
Komplexe Kombination verschiedener Rechenoperationen
Gegeben seien: [math]\displaystyle{ G = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad H = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad J = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}, \quad \lambda = 2, \quad \mu = 3 }[/math]
Zu berechnen ist der Term: [math]\displaystyle{ \lambda \cdot G + \mu \cdot (H \cdot J) }[/math]
1. Schritt: Matrixmultiplikation (Klammer auflösen)
- [math]\displaystyle{ H \cdot J = \begin{pmatrix} 1\cdot3 + 4\cdot2 & 1\cdot1 + 4\cdot2 \\ 2\cdot3 + 1\cdot2 & 2\cdot1 + 1\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 & 9 \\ 8 & 4 \end{pmatrix} }[/math]
2. Schritt: Skalarmultiplikationen
- [math]\displaystyle{ 2 \cdot G = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}, \quad 3 \cdot (H \cdot J) = \begin{pmatrix} 33 & 27 \\ 24 & 12 \end{pmatrix} }[/math]
3. Schritt: Addition der Ergebnisse
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 33 & 27 \\ 24 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 37 & 29 \\ 24 & 18 \end{pmatrix} }[/math]
Endergebnis: [math]\displaystyle{ \lambda \cdot G + \mu \cdot (H \cdot J) = \begin{pmatrix} 37 & 29 \\ 24 & 18 \end{pmatrix} }[/math]