Lineare Unabhängigkeit
Die lineare Unabhängigkeit ist ein grundlegender Begriff der linearen Algebra. Er beschreibt, ob Vektoren oder Zeilen bzw. Spalten einer Matrix voneinander unabhängig sind oder ob sich ein Element als Linearkombination der anderen darstellen lässt. Der Begriff ist eng mit dem linearen Gleichungssystem und dem Gaußschen Eliminationsverfahren verknüpft.
Definition
Vektoren [math]\displaystyle{ v_1, v_2, \dots, v_n }[/math] heißen linear unabhängig, wenn die Gleichung [math]\displaystyle{ \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dots + \lambda_n v_n = 0 }[/math] nur die triviale Lösung [math]\displaystyle{ \lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_n = 0 }[/math] besitzt.
Existiert dagegen eine nichttriviale Linearkombination, also mindestens ein [math]\displaystyle{ \lambda_i \neq 0 }[/math], für die die obige Gleichung erfüllt ist, so heißen die Vektoren linear abhängig.
Zusammenhang mit Matrizen
Die Spalten (bzw. Zeilen) einer Matrix sind genau dann linear unabhängig, wenn der Rang der Matrix der Anzahl der Spalten (bzw. Zeilen) entspricht. Lineare Unabhängigkeit ist damit ein zentrales Kriterium für die Lösbarkeit und Eindeutigkeit von linearen Gleichungssystemen.
Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen
Für ein homogenes lineares Gleichungssystem [math]\displaystyle{ A \cdot x = 0 }[/math] gilt:
- Die Spalten der Matrix [math]\displaystyle{ A }[/math] sind linear unabhängig, wenn das System nur die triviale Lösung besitzt.
- Gibt es nichttriviale Lösungen, so sind die Spalten der Matrix linear abhängig.
Beispiele
Beispiel für lineare Unabhängigkeit
Die Vektoren [math]\displaystyle{ v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} }[/math] sind linear unabhängig, da keiner der beiden Vektoren als Vielfaches des anderen dargestellt werden kann.
Beispiel für lineare Abhängigkeit
Die Vektoren [math]\displaystyle{ v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} }[/math] sind linear abhängig, da [math]\displaystyle{ v_2 = 2 \cdot v_1 }[/math] gilt.
Bedeutung
Lineare Unabhängigkeit spielt eine wichtige Rolle bei
- der Bestimmung des Rangs einer Matrix,
- der Analyse von Lösungsräumen,
- der Untersuchung von Produktions- und Stücklistenmodellen in der Wirtschaft,
- der Bestimmung von Inversen von Matrizen.