Signifikanztest
Ein Signifikanztest ist ein Werkzeug der Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit dem überprüft wird, ob eine getroffene Annahme über eine Zufallsvariable auf Grundlage einer Stichprobe beibehalten oder verworfen werden sollte.
Null- und Gegenhypothese
Für die Durchführung eines Signifikanztests werden zwei Hypothesen formuliert:
- Die Nullhypothese [math]\displaystyle{ H_0 }[/math]: Sie beschreibt die Ausgangsannahme über die Zufallsvariable und wird solange als gültig betrachtet, bis sie durch den Test widerlegt wird.
- Die Gegenhypothese oder Alternativhypothese [math]\displaystyle{ H_1 }[/math]: Sie stellt die Alternative zu [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] dar und wird angenommen, wenn genügend Hinweise vorliegen, dass [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] nicht zutrifft.
Definition
Ein Signifikanztest überprüft auf Basis der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable, ob die Nullhypothese [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] auf einem vorgegebenen Signifikanzniveau [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] verworfen wird.
- Wird [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] verworfen, spricht man von einem signifikanten Ergebnis.
- Wird [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] nicht verworfen, reichen die vorliegenden Daten nicht aus, um [math]\displaystyle{ H_1 }[/math] zu stützen.
Einseitiger Signifikanztest
Beim einseitigen Signifikanztest wird nur eine Abweichung in eine Richtung untersucht. Die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] folgt unter der Nullhypothese einer bekannten Verteilung, z. B. einer Binomialverteilung.
- Wird eine Abweichung nach oben untersucht, so sprechen wir von einem rechtsseitigen Signifikanztest.
- Wird eine Abweichung nach unten untersucht, so sprechen wir von einem linksseitigen Signifikanztest.
- Der Bereich, in dem [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] nicht verworfen wird, heißt Annahmebereich.
- Der Bereich, in dem [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] verworfen wird, heißt Verwerfungsbereich.
- Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt, wird kritische Zahl genannt.
- Die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis fälschlicherweise im Verwerfungsbereich liegt, wird Irrtumswahrscheinlichkeit oder Signifikanzniveau [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] genannt.
Fehler 1. Art
Ein Fehler 1. Art tritt auf, wenn die Nullhypothese [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler entspricht dem Signifikanzniveau [math]\displaystyle{ \alpha }[/math].
Fehler 2. Art
Ein Fehler 2. Art tritt auf, wenn die Nullhypothese [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit [math]\displaystyle{ \beta }[/math] bezeichnet.
Anwendungen
- Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung
- Risikoabschätzung in Versicherungen
- Analyse von Produktionsprozessen
- Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen
Beispiele
Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (Linksseitiger Signifikanztest)
Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von [math]\displaystyle{ n=20 }[/math] Teilen gezogen.
- Nullhypothese: [math]\displaystyle{ H_0: p = 0,05 }[/math] (Fehlerquote beträgt 5 %).
- Alternativhypothese: [math]\displaystyle{ H_1: p \gt 0,05 }[/math] (Fehlerquote ist größer als 5 %).
Es soll auf einem Signifikanzniveau von [math]\displaystyle{ \alpha = 0,05 }[/math] getestet werden, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert.
1. Erwartungswert und Annahmebereich:
Der Erwartungswert unter [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] ist
- [math]\displaystyle{ \operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1 }[/math].
Der Annahmebereich umfasst alle Werte [math]\displaystyle{ x }[/math], für die [math]\displaystyle{ P(X \ge x) \gt 0,05 }[/math]. Die kleinste Zahl [math]\displaystyle{ x }[/math] mit [math]\displaystyle{ P(X \ge x) \le 0,05 }[/math] ist der kritische Wert. Berechnung:
- [math]\displaystyle{ P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,043 }[/math]
→ Kritischer Wert: [math]\displaystyle{ x_{\text{krit}} = 4 }[/math]
- Annahmebereich: [math]\displaystyle{ \{0;1;2;3\} }[/math]
- Verwerfungsbereich: [math]\displaystyle{ \{4;5;\dots;20\} }[/math]
2. Beobachtung: [math]\displaystyle{ X = 2 }[/math]
3. Entscheidung: Da [math]\displaystyle{ 2 }[/math] im Annahmebereich liegt, wird [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] nicht verworfen.
Qualitätskontrolle mit 50 Teilen (Linksseitiger Signifikanztest)
Eine Maschine produziert in Serie Teile. Eine Stichprobe von [math]\displaystyle{ n=50 }[/math] Teilen wird gezogen.
- Nullhypothese: [math]\displaystyle{ H_0: p = 0,02 }[/math] (Fehlerquote beträgt 2 %).
- Alternativhypothese: [math]\displaystyle{ H_1: p \gt 0,02 }[/math] (Fehlerquote ist größer als 2 %).
Signifikanzniveau: [math]\displaystyle{ \alpha = 0,05 }[/math].
1. Erwartungswert und Annahmebereich:
[math]\displaystyle{ \operatorname{E}(X) = 50 \cdot 0,02 = 1 }[/math]
Berechnung des kritischen Wertes:
- [math]\displaystyle{ P(X \ge 3) = 0,047 \le 0,05 }[/math]
- [math]\displaystyle{ P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 0,264 \gt 0,05 }[/math]
→ Kritischer Wert: [math]\displaystyle{ x_{\text{krit}} = 3 }[/math]
- Annahmebereich: [math]\displaystyle{ \{0;1;2\} }[/math]
- Verwerfungsbereich: [math]\displaystyle{ \{3;4,\dots;50\} }[/math]
2. Beobachtung: [math]\displaystyle{ X = 3 }[/math]
3. Entscheidung: Da [math]\displaystyle{ 3 }[/math] im Verwerfungsbereich liegt, wird [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] verworfen.
Münzwurf-Experiment (Rechtsseitiger Signifikanztest)
Es wird eine Münze [math]\displaystyle{ n=40 }[/math]-mal geworfen.
- Nullhypothese: [math]\displaystyle{ H_0: p = 0,5 }[/math] (die Münze ist fair).
- Alternativhypothese: [math]\displaystyle{ H_1: p \lt 0,5 }[/math] (die Münze fällt seltener auf „Kopf“).
Signifikanzniveau: [math]\displaystyle{ \alpha = 0,05 }[/math].
1. Erwartungswert und Annahmebereich:
[math]\displaystyle{ \operatorname{E}(X) = 40 \cdot 0,5 = 20 }[/math]
Berechnung des kritischen Wertes:
- [math]\displaystyle{ P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05 }[/math]
- [math]\displaystyle{ P(X \le 15) \approx 0,081 \gt 0,05 }[/math]
→ Kritischer Wert: [math]\displaystyle{ x_{\text{krit}} = 14 }[/math]
- Verwerfungsbereich: [math]\displaystyle{ \{0,1,\dots,14\} }[/math]
- Annahmebereich: [math]\displaystyle{ \{15,16,\dots,40\} }[/math]
2. Beobachtung: [math]\displaystyle{ X = 14 }[/math]
3. Entscheidung: Da [math]\displaystyle{ 14 }[/math] im Verwerfungsbereich liegt, wird [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] verworfen.
Produktionskontrolle mit Glühlampen (Rechtsseitiger Signifikanztest)
Ein Hersteller überprüft die Lebensdauer von Glühlampen. Es gilt [math]\displaystyle{ n=30 }[/math].
- Nullhypothese: [math]\displaystyle{ H_0: p = 0,1 }[/math] (10 % Ausfallrate).
- Alternativhypothese: [math]\displaystyle{ H_1: p \lt 0,1 }[/math] (Ausfallrate ist kleiner als 10 %).
Signifikanzniveau: [math]\displaystyle{ \alpha = 0,05 }[/math].
1. Erwartungswert und Annahmebereich:
[math]\displaystyle{ \operatorname{E}(X) = 30 \cdot 0,1 = 3 }[/math]
Berechnung des kritischen Wertes:
- [math]\displaystyle{ P(X \le 0) \approx 0,042 \le 0,05 }[/math]
- [math]\displaystyle{ P(X \le 1) \approx 0,150 \gt 0,05 }[/math]
→ Kritischer Wert: [math]\displaystyle{ x_{\text{krit}} = 0 }[/math]
- Verwerfungsbereich: [math]\displaystyle{ \{0\} }[/math]
- Annahmebereich: [math]\displaystyle{ \{1,2,\dots,30\} }[/math]
2. Beobachtung: [math]\displaystyle{ X = 0 }[/math]
3. Entscheidung: Da [math]\displaystyle{ 0 }[/math] im Verwerfungsbereich liegt, wird [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] verworfen.