Bedingte Wahrscheinlichkeit
Definition
Die bedingte Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ P_B(A) }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ P(A|B) }[/math] beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses [math]\displaystyle{ A }[/math] unter der Voraussetzung, dass ein anderes Ereignis [math]\displaystyle{ B }[/math] bereits eingetreten ist. Wir sagen auch "Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B".
Es seien [math]\displaystyle{ A, B }[/math] Ereignisse mit [math]\displaystyle{ P(B) > 0 }[/math], dann gilt:
- [math]\displaystyle{ P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} }[/math]
Stochastische Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse [math]\displaystyle{ A }[/math] und [math]\displaystyle{ B }[/math] heißen stochastisch unabhängig, wenn
- [math]\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) }[/math]
gilt.
Dies bedeutet, dass das Eintreten von [math]\displaystyle{ B }[/math] die Wahrscheinlichkeit von [math]\displaystyle{ A }[/math] nicht beeinflusst. Für bedingte Wahrscheinlichkeiten bei stochastisch unabhängigen Ereignissen gilt demnach (vorausgesetzt die Wahrscheinlichkeiten sind größer als 0):
- [math]\displaystyle{ P_B(A) = P(A) }[/math] und [math]\displaystyle{ P_A(B) = P(B) }[/math].
Zusammenhang mit der Vierfeldertafel
Die Vierfeldertafel eignet sich besonders gut zur Veranschaulichung bedingter Wahrscheinlichkeiten und zur Überprüfung auf stochastische Unabhängigkeit.
Hierbei stehen die Variablen [math]\displaystyle{ a, b, c, d }[/math] für die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Schnittmengen (z. B. [math]\displaystyle{ a = P(A \cap B) }[/math]):
| [math]\displaystyle{ B }[/math] | [math]\displaystyle{ \bar{B} }[/math] | [math]\displaystyle{ \sum }[/math] | |
| [math]\displaystyle{ A }[/math] | [math]\displaystyle{ a }[/math] | [math]\displaystyle{ b }[/math] | [math]\displaystyle{ a+b }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \bar{A} }[/math] | [math]\displaystyle{ c }[/math] | [math]\displaystyle{ d }[/math] | [math]\displaystyle{ c+d }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \sum }[/math] | [math]\displaystyle{ a+c }[/math] | [math]\displaystyle{ b+d }[/math] | 1 |
Die bedingte Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ P_B(A) }[/math] lässt sich dann direkt aus der Tafel ablesen und berechnen durch:
- [math]\displaystyle{ P_B(A) = \frac{a}{a+c} }[/math]
Satz von Bayes
Es seien [math]\displaystyle{ A }[/math] und [math]\displaystyle{ B }[/math] Ereignisse mit [math]\displaystyle{ P(B) > 0 }[/math]. Die Wahrscheinlichkeiten [math]\displaystyle{ P_A(B) }[/math], [math]\displaystyle{ P(A) }[/math] und [math]\displaystyle{ P(\bar{A}) }[/math] seien gegeben. Die Wahrscheinlichkeit von [math]\displaystyle{ A }[/math] unter der Bedingung [math]\displaystyle{ B }[/math] wird dann durch
- [math]\displaystyle{ P_B(A) = \frac{P_A(B) \cdot P(A)}{P(B)} }[/math]
berechnet. Oftmals ist [math]\displaystyle{ P(B) }[/math] nicht direkt gegeben und muss über das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit (die Pfadadditionsregel im Baumdiagramm) ermittelt werden. Die erweiterte Formel lautet dann:
- [math]\displaystyle{ P_B(A) = \frac{P_A(B) \cdot P(A)}{P_A(B) \cdot P(A) + P_{\bar{A}}(B) \cdot P(\bar{A})} }[/math]
Beispiele
Medizinischer Test (mit Vierfeldertafel)
Fortsetzung des Beispiels aus der Vierfeldertafel:
- Sensitivität [math]\displaystyle{ P_K(T) = 0,95 }[/math]
- Spezifität [math]\displaystyle{ P_{\bar{K}}(\bar{T}) = 0,90 }[/math]
- Prävalenz (Krankheitsrate) [math]\displaystyle{ P(K) = 0,02 }[/math]
Die Wahrscheinlichkeit krank zu sein bei positivem Test ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit:
- [math]\displaystyle{ P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 16,2\% }[/math]
Alternative Berechnung direkt mit dem Satz von Bayes:
Zuerst berechnen wir [math]\displaystyle{ P(T) }[/math] über die totale Wahrscheinlichkeit:
- [math]\displaystyle{ P(T) = P_K(T) \cdot P(K) + P_{\bar{K}}(T) \cdot P(\bar{K}) }[/math]
- [math]\displaystyle{ P(T) = 0,95 \cdot 0,02 + (1 - 0,90) \cdot 0,98 = 0,019 + 0,098 = 0,117 }[/math]
Nun wenden wir den Satz von Bayes an:
- [math]\displaystyle{ P_T(K) = \frac{P_K(T) \cdot P(K)}{P(T)} = \frac{0,95 \cdot 0,02}{0,117} \approx 0,162 }[/math]
Interpretation: Trotz eines positiven Testergebnisses beträgt die Wahrscheinlichkeit, tatsächlich krank zu sein, nur etwa 16,2 % – dies liegt an der niedrigen Prävalenz (seltene Krankheit) in Kombination mit der Fehlerquote des Tests.
Würfelbeispiel zur stochastischen Unabhängigkeit
Betrachtet man zwei Ereignisse bei einem fairen sechsseitigen Würfel:
- A: "Gerade Zahl" = {2,4,6} → [math]\displaystyle{ P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} }[/math]
- B: "Zahl > 3" = {4,5,6} → [math]\displaystyle{ P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} }[/math]
Schnittmenge: [math]\displaystyle{ A \cap B }[/math] = {4,6} → [math]\displaystyle{ P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} }[/math]
Wir prüfen auf stochastische Unabhängigkeit:
- [math]\displaystyle{ P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} }[/math]
Da [math]\displaystyle{ \frac{1}{4} \neq \frac{1}{3} }[/math], sind die Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnet sich zu:
- [math]\displaystyle{ P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3} \approx 66,7\% }[/math]
Münzwurfbeispiel zur stochastischen Unabhängigkeit
Bei zwei Münzwürfen:
- A: "Erster Wurf Kopf" → [math]\displaystyle{ P(A) = 0,5 }[/math]
- B: "Zweiter Wurf Zahl" → [math]\displaystyle{ P(B) = 0,5 }[/math]
Da die Würfe voneinander unabhängig sind, gilt für die Schnittmenge:
- [math]\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25 }[/math]
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ergibt entsprechend:
- [math]\displaystyle{ P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,25}{0,5} = 0,5 = P(A) }[/math]
(Dies ist das zu erwartende Resultat bei stochastischer Unabhängigkeit, da Vorwissen B das Eintreten von A nicht beeinflusst).