Ableitungsfunktion
Ableitung und Steigung in einem Punkt
Ist [math]\displaystyle{ f }[/math] eine Funktion, die auf dem Intervall [math]\displaystyle{ [x_0;x_1] \subseteq \mathbb{D}_f }[/math] definiert ist, und strebt der Differenzenquotient [math]\displaystyle{ \frac{f\left(x\right)-f(x_0)}{x-x_0} }[/math] für [math]\displaystyle{ x\rightarrow x_0 }[/math] und [math]\displaystyle{ x \in [x_0;x_1] }[/math] gegen einen Wert, so heißt dieser Wert Ableitung (lokale Änderungsrate) von [math]\displaystyle{ f }[/math] an der Stelle [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] und wird mit [math]\displaystyle{ f'(x_0) }[/math] bezeichnet. [math]\displaystyle{ f }[/math] heißt an der Stelle [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] differenzierbar.
Die Ableitung ist die Steigung der Tangente im Punkt [math]\displaystyle{ {P(x}_0|f\left(x_0\right)) }[/math] und heißt Steigung des Graphen von [math]\displaystyle{ f }[/math] in [math]\displaystyle{ P }[/math].
Definition
Ist eine Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] für alle [math]\displaystyle{ x\ \in\ \mathbb{D}_f }[/math] differenzierbar, so heißt die Funktion [math]\displaystyle{ f' }[/math], die jeder Stelle [math]\displaystyle{ x }[/math] der Definitionsmenge die Ableitung [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math] zuordnet, Ableitungsfunktion. Wir bezeichnen [math]\displaystyle{ f' }[/math] auch als Ableitung von [math]\displaystyle{ f }[/math].
Ableitungsregeln
Die Ableitungsfunktion [math]\displaystyle{ f' }[/math] wird mit den folgenden Regeln ermittelt:
Potenzregel
Die Funktion [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=x^n }[/math] hat die Ableitungsfunktion [math]\displaystyle{ f'\left(x\right)=n{\cdot x}^{n-1} }[/math] für [math]\displaystyle{ n\ \in\mathbb{N} }[/math].
Faktorregel
Für [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=c\cdot g(x) }[/math] gilt [math]\displaystyle{ f'\left(x\right)=c\cdot g'(x) }[/math].
Summenregel
Für [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=g\left(x\right)+h(x) }[/math] gilt [math]\displaystyle{ f'\left(x\right)=g'\left(x\right)+h'(x) }[/math].
Beispiele
Graphische Erläuterung der Steigung in einem Punkt
Im Bild wandert ein Punkt mit seiner Tangente über den Graph der Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math]. Die Steigung der Tangente ist die Steigung in dem Punkt. Wandert der Punkt den 'Berg' hinauf, ist die Steigung positiv. Wandert der Punkt den 'Berg' hinab, ist die Steigung negativ. Auf dem 'Berg' und im 'Tal' ist die Steigung Null. In der Mitte zwischen 'Berg' und 'Tal' ist die Steigung betragsmäßig am größten.
Steigung in einem Punkt mit Hilfe der Tangente ermitteln
Wir betrachten [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=x^2 }[/math] im Punkt [math]\displaystyle{ P(1|1) }[/math]. Die Tangente in diesem Punkt ist [math]\displaystyle{ t\left(x\right)=2x-1 }[/math]. Die Steigung von [math]\displaystyle{ f }[/math] in [math]\displaystyle{ P }[/math] ist [math]\displaystyle{ 2 }[/math].
Potenz-, Faktor- und Summenregel anwenden
Wendet man auf [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=x^6 }[/math] die Potenzregel an, gilt [math]\displaystyle{ f'\left(x\right)=6x^{6-1}=6x^5 }[/math]. Die Steigung im Punkt [math]\displaystyle{ P(1|2) }[/math] ist dann [math]\displaystyle{ f'(1)=6 \cdot 1^5=6 }[/math].
Wendet man auf [math]\displaystyle{ g\left(x\right)=3x^5 }[/math] die Faktorregel an, gilt [math]\displaystyle{ g'\left(x\right)=3\cdot5x^{5-1}=15x^4 }[/math].
Wendet man auf [math]\displaystyle{ h\left(x\right)=2x^3+3x^4 }[/math] die Summenregel an, gilt [math]\displaystyle{ h'(x)=2\cdot3x^2+4\cdot3x^3=6x^2+12x^3 }[/math]. Das dritte Video zeigt, wie Ableitungsfunktionen skizziert werden können.
Höhere Ableitungen ermitteln
Höhere Ableitungen werden durch mehrmaliges Anwenden der Ableitungsregeln angewendet. Die Ableitungsfunktion von [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math] ist dann [math]\displaystyle{ f''(x) }[/math] und die Ableitungsfunktion von [math]\displaystyle{ f''(x) }[/math] ist [math]\displaystyle{ f'''(x) }[/math]. [math]\displaystyle{ f''(x) }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ f'''(x) }[/math] bezeichnen wir mit zweite bzw. dritte Ableitung.