Varianz (Wahrscheinlichkeitsrechnung)

Definition

Die Varianz ist durch

[math]\displaystyle{ \sigma^2=V(X)=(x_1-E(X))^2 \cdot p_1+(x_2-E(X))^2 \cdot p_2+...+(x_i-E(X))^2 \cdot p_i }[/math]

definiert. Die Standardabweichung ist [math]\displaystyle{ \sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)} }[/math].

Wird ein Zufallsexperiment mit vielen Ergebnissen sehr oft durchgeführt, liegen die beobachteten Werte zu

68 % im Intervall [math]\displaystyle{ \left[\mu-\sigma;\mu+\sigma\right] }[/math]
95 % im Intervall [math]\displaystyle{ \left[\mu-2\sigma;\mu+2\sigma\right] }[/math]
99 % im Intervall [math]\displaystyle{ \left[\mu-3\sigma;\mu+3\sigma\right] }[/math]

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung zum dreifachen Münzwurf ermitteln

Für das vorherige Beispiel mit dem dreifachen Münzwurf und der Zufallsvariable X, Anzahl von Zahl, gilt [math]\displaystyle{ P(X=0)=0,125 }[/math],[math]\displaystyle{ P(X=1)=0,375 }[/math], [math]\displaystyle{ P(X=2)=0,375 }[/math] und [math]\displaystyle{ P(X=3)=0,125 }[/math]. Der Erwartungswert ist dann:

[math]\displaystyle{ E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5 }[/math]

Die Varianz und die Standardabweichung sind dann:

[math]\displaystyle{ V\left(X\right)=\left(0-1,5\right)^2\cdot0,125+\left(1-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(2-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(3-1,5\right)^2\cdot0,125=0,75 }[/math]

[math]\displaystyle{ \sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}=\sqrt{0,75} }[/math]