Nullstelle
Nullstellen
Nullstellen sind die [math]\displaystyle{ x-Werte }[/math], bei denen der Graph die [math]\displaystyle{ x-Achse }[/math] schneidet. Für eine lineare Funktion
[math]\displaystyle{ y=mx+b }[/math]
wird die Nullstelle berechnet, indem [math]\displaystyle{ y=0 }[/math] eingesetzt und nach [math]\displaystyle{ x }[/math] umgeformt wird:
[math]\displaystyle{ 0=mx+b\ |-b }[/math]
[math]\displaystyle{ -b=\ mx\ |\ \div m }[/math]
[math]\displaystyle{ -\frac{b}{m}=\ x }[/math]
Beispiel Nullstellenberechnung
Gegeben ist die lineare Funktion
[math]\displaystyle{ f:y=2x+1 }[/math]
Setzt man [math]\displaystyle{ y=0 }[/math] ein, folgt
[math]\displaystyle{ 0=2x+1\ |-1 }[/math]
[math]\displaystyle{ -1=\ 2x\ |\ \div2 }[/math]
[math]\displaystyle{ -\frac{1}{2}=\ x }[/math]
Also ist [math]\displaystyle{ x=\ -\frac{1}{2} }[/math] die Nullstelle.
Beispiel lineare Funktion ohne Nullstelle
Gegeben ist die lineare Funktion
[math]\displaystyle{ f:y=0x+1 }[/math]
Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 1. Berechnen wir die Nullstelle, erhalten wir:
[math]\displaystyle{ 0=0x+1 }[/math]
[math]\displaystyle{ 0= 1 }[/math]
Das ist ein Widerspruch, da [math]\displaystyle{ 0\neq 1 }[/math] ist. Die lineare Funktion hat also keine Nullstelle. Dies erkennt man auch am Graphen der Funktion, dieser verläuft parallel zur [math]\displaystyle{ x }[/math]-Achse und hat damit keine Nullstellen.
Beispiel lineare Funktion mit unendlich vielen Nullstellen
Gegeben ist die lineare Funktion
[math]\displaystyle{ f:y=0x+0 }[/math]
Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 0. Berechnen wir die Nullstelle, erhalten wir:
[math]\displaystyle{ 0=0x+0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 0= 0 }[/math]
Die Aussage ist wahr, also ist jeder [math]\displaystyle{ x }[/math]-Wert eine Nullstelle von [math]\displaystyle{ f }[/math]. Der Graph verläuft vollständig auf der x-Achse.