Bedingte Wahrscheinlichkeit

Definition

Die bedingte Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ P_B(A) }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ P(A|B) }[/math] beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses [math]\displaystyle{ A }[/math] unter der Voraussetzung, dass ein anderes Ereignis [math]\displaystyle{ B }[/math] bereits eingetreten ist. Wir sagen auch "Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B".

Es seien [math]\displaystyle{ A, B }[/math] Ereignisse mit [math]\displaystyle{ P(B) > 0 }[/math], dann gilt:

[math]\displaystyle{ P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} }[/math]

Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse [math]\displaystyle{ A }[/math] und [math]\displaystyle{ B }[/math] heißen stochastisch unabhängig, wenn

[math]\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) }[/math]

gilt.

Dies bedeutet, dass das Eintreten von [math]\displaystyle{ B }[/math] die Wahrscheinlichkeit von [math]\displaystyle{ A }[/math] nicht beeinflusst. Für bedingte Wahrscheinlichkeiten bei stochastisch unabhängigen Ereignissen gilt demnach (vorausgesetzt die Wahrscheinlichkeiten sind größer als 0):

[math]\displaystyle{ P_B(A) = P(A) }[/math] und [math]\displaystyle{ P_A(B) = P(B) }[/math].

Zusammenhang mit der Vierfeldertafel

Die Vierfeldertafel eignet sich besonders gut zur Veranschaulichung bedingter Wahrscheinlichkeiten und zur Überprüfung auf stochastische Unabhängigkeit.

Hierbei stehen die Variablen [math]\displaystyle{ a, b, c, d }[/math] für die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Schnittmengen (z. B. [math]\displaystyle{ a = P(A \cap B) }[/math]):

	[math]\displaystyle{ B }[/math]	[math]\displaystyle{ \bar{B} }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum }[/math]
[math]\displaystyle{ A }[/math]	[math]\displaystyle{ a }[/math]	[math]\displaystyle{ b }[/math]	[math]\displaystyle{ a+b }[/math]
[math]\displaystyle{ \bar{A} }[/math]	[math]\displaystyle{ c }[/math]	[math]\displaystyle{ d }[/math]	[math]\displaystyle{ c+d }[/math]
[math]\displaystyle{ \sum }[/math]	[math]\displaystyle{ a+c }[/math]	[math]\displaystyle{ b+d }[/math]	1

Die bedingte Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ P_B(A) }[/math] lässt sich dann direkt aus der Tafel ablesen und berechnen durch:

[math]\displaystyle{ P_B(A) = \frac{a}{a+c} }[/math]

Satz von Bayes

Es seien [math]\displaystyle{ A }[/math] und [math]\displaystyle{ B }[/math] Ereignisse mit [math]\displaystyle{ P(B) > 0 }[/math]. Die Wahrscheinlichkeiten [math]\displaystyle{ P_A(B) }[/math], [math]\displaystyle{ P(A) }[/math] und [math]\displaystyle{ P(\bar{A}) }[/math] seien gegeben. Die Wahrscheinlichkeit von [math]\displaystyle{ A }[/math] unter der Bedingung [math]\displaystyle{ B }[/math] wird dann durch

[math]\displaystyle{ P_B(A) = \frac{P_A(B) \cdot P(A)}{P(B)} }[/math]

berechnet. Oftmals ist [math]\displaystyle{ P(B) }[/math] nicht direkt gegeben und muss über das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit (die Pfadadditionsregel im Baumdiagramm) ermittelt werden. Die erweiterte Formel lautet dann:

[math]\displaystyle{ P_B(A) = \frac{P_A(B) \cdot P(A)}{P_A(B) \cdot P(A) + P_{\bar{A}}(B) \cdot P(\bar{A})} }[/math]

Beispiele

Medizinischer Test (mit Vierfeldertafel)

Fortsetzung des Beispiels aus der Vierfeldertafel:

• Sensitivität [math]\displaystyle{ P_K(T) = 0,95 }[/math]
• Spezifität [math]\displaystyle{ P_{\bar{K}}(\bar{T}) = 0,90 }[/math]
• Prävalenz (Krankheitsrate) [math]\displaystyle{ P(K) = 0,02 }[/math]

Die Wahrscheinlichkeit krank zu sein bei positivem Test ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit:

[math]\displaystyle{ P_T(K) = \frac{P(K \cap T)}{P(T)} = \frac{0,019}{0,117} \approx 16,2\% }[/math]

Alternative Berechnung direkt mit dem Satz von Bayes:

Zuerst berechnen wir [math]\displaystyle{ P(T) }[/math] über die totale Wahrscheinlichkeit:

[math]\displaystyle{ P(T) = P_K(T) \cdot P(K) + P_{\bar{K}}(T) \cdot P(\bar{K}) }[/math]

[math]\displaystyle{ P(T) = 0,95 \cdot 0,02 + (1 - 0,90) \cdot 0,98 = 0,019 + 0,098 = 0,117 }[/math]

Nun wenden wir den Satz von Bayes an:

[math]\displaystyle{ P_T(K) = \frac{P_K(T) \cdot P(K)}{P(T)} = \frac{0,95 \cdot 0,02}{0,117} \approx 0,162 }[/math]

Interpretation: Trotz eines positiven Testergebnisses beträgt die Wahrscheinlichkeit, tatsächlich krank zu sein, nur etwa 16,2 % – dies liegt an der niedrigen Prävalenz (seltene Krankheit) in Kombination mit der Fehlerquote des Tests.

Würfelbeispiel zur stochastischen Unabhängigkeit

Betrachtet man zwei Ereignisse bei einem fairen sechsseitigen Würfel:

• A: "Gerade Zahl" = {2,4,6} → [math]\displaystyle{ P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} }[/math]
• B: "Zahl > 3" = {4,5,6} → [math]\displaystyle{ P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} }[/math]

Schnittmenge: [math]\displaystyle{ A \cap B }[/math] = {4,6} → [math]\displaystyle{ P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} }[/math]

Wir prüfen auf stochastische Unabhängigkeit:

[math]\displaystyle{ P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} }[/math]

Da [math]\displaystyle{ \frac{1}{4} \neq \frac{1}{3} }[/math], sind die Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnet sich zu:

[math]\displaystyle{ P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3} \approx 66,7\% }[/math]

Münzwurfbeispiel zur stochastischen Unabhängigkeit

Bei zwei Münzwürfen:

• A: "Erster Wurf Kopf" → [math]\displaystyle{ P(A) = 0,5 }[/math]
• B: "Zweiter Wurf Zahl" → [math]\displaystyle{ P(B) = 0,5 }[/math]

Da die Würfe voneinander unabhängig sind, gilt für die Schnittmenge:

[math]\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25 }[/math]

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ergibt entsprechend:

[math]\displaystyle{ P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,25}{0,5} = 0,5 = P(A) }[/math]

(Dies ist das zu erwartende Resultat bei stochastischer Unabhängigkeit, da Vorwissen B das Eintreten von A nicht beeinflusst).