Lineare Funktionen sind ein wesentlicher Bestandteil der Analysis und damit ein Gebiet der Mathematik. Sie haben viele praktische Anwendungen in verschiedenen Bereichen wie Wirtschaft, Ingenieurwesen, Naturwissenschaften und Sozialwissenschaften und beschreiben die Beziehung zwischen zwei Variablen, die linear miteinander verbunden sind, und können verwendet werden, um Trends, Muster und Veränderungen im Verhalten von Phänomenen zu analysieren und vorherzusagen.
Eine Funktion mit der Funktionsvorschrift heißt lineare Funktion mit der Steigung und dem -Achsenabschnitt. Die Gleichung der Geraden ist . Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Ein Punkt liegt genau dann auf dem Graph von , wenn gilt.
Punkt-Steigungsform der Geradengleichung
Sind zwei Punkte und gegeben, dann lässt sich eindeutig eine Gerade durch diese beiden Punkte zeichnen. Falls , ist dies der Graph einer linearen Funktion. Die Steigung dieser Geraden ist dann . Die Gleichung der Geraden kann in der Punkt-Steigungs-Form angegeben werden:
Wenn ist, wird die lineare Funktion als konstante Funktion bezeichnet.
Schnittpunkt von zwei Geraden bestimmen
Sind zwei lineare Funktionsvorschriften und gegeben, dann kann die Schnittstelle durch Gleichsetzen und Umformen nach errechnet werden:
Der dazugehörige -Wert wird durch Einsetzen in eine der Funktionsvorschriften, z. B. , berechnet:
Lagebeziehungen zwischen Geraden
Parallele Geraden
Parallele Gerade mit und
Die Geraden von zwei linearen Funktionen und sind parallel, wenn sie sich nicht schneiden. Für parallele Geraden gilt , d. h. die Steigungen sind gleich.
Orthogonale Geraden
Orthogonale Geraden mit und
Die Geraden von zwei linearen Funktionen und sind orthogonal, wenn sie einen rechten Winkel einschließen. Für orthogonale Geraden gilt bzw. .
Beispiele
Steigung, y-Achsenabschnitt und Graph einer linearen Funktion
Gegeben ist die Funktion mit . Der -Achsenabschnitt ist , da die Gerade im Punkt die -Achse schneidet. Die Steigung ist , da man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben gehen kann, um wieder auf die Gerade zu kommen. Die Gleichung der Geraden ist .
x- und y-Werte einer linearen Funktion berechnen
Punktprobe durchführen
Wir betrachten wieder die lineare Funktion . Der Punkt liegt nicht auf der Geraden. Dies kann man auch rechnerisch überprüfen. Setzt man die Koordinaten in die Gleichung der Geraden ein, gilt . Die rechnerische Überprüfung, ob ein Punkt auf der Geraden der Funktion liegt, heißt Punktprobe.
