Signifikanztest
Ein Signifikanztest ist ein Werkzeug der Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit dem überprüft wird, ob eine getroffene Annahme über eine Zufallsvariable auf Grundlage einer Stichprobe beibehalten oder verworfen werden sollte.
Null- und Gegenhypothese
Für die Durchführung eines Signifikanztests werden zwei Hypothesen formuliert:
- Die Nullhypothese [math]\displaystyle{ H_0 }[/math]: Sie beschreibt die Ausgangsannahme über die Zufallsvariable und wird solange als gültig betrachtet, bis sie durch den Test widerlegt wird.
- Die Gegenhypothese [math]\displaystyle{ H_1 }[/math]: Sie stellt die Alternative zu [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] dar und wird angenommen, wenn genügend Hinweise vorliegen, dass [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] nicht zutrifft.
Definition
Ein Signifikanztest überprüft auf Basis der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable, ob die Nullhypothese [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] auf einem vorgegebenen Signifikanzniveau [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] verworfen wird.
- Wird [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] verworfen, spricht man von einem signifikanten Ergebnis.
- Wird [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] nicht verworfen, reichen die vorliegenden Daten nicht aus, um [math]\displaystyle{ H_1 }[/math] zu stützen.
Einseitiger Signifikanztest
Beim einseitigen Signifikanztest wird nur eine Abweichung in eine Richtung untersucht. Die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] folgt unter der Nullhypothese einer bekannten Verteilung, z. B. einer Binomialverteilung.
- Der Bereich, in dem [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] nicht verworfen wird, heißt Annahmebereich.
- Der Bereich, in dem [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] verworfen wird, heißt Verwerfungsbereich.
- Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt, wird kritische Zahl genannt.
- Die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis fälschlicherweise im Verwerfungsbereich liegt, wird Irrtumswahrscheinlichkeit oder Signifikanzniveau [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] genannt.
Fehler 1. Art
Ein Fehler 1. Art tritt auf, wenn die Nullhypothese [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler entspricht dem Signifikanzniveau [math]\displaystyle{ \alpha }[/math].
Fehler 2. Art
Ein Fehler 2. Art tritt auf, wenn die Nullhypothese [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit [math]\displaystyle{ \beta }[/math] bezeichnet.
Beispiele
Qualitätskontrolle mit 50 Teilen
Es wird eine Stichprobe von [math]\displaystyle{ n=50 }[/math] Teilen aus der Produktion gezogen. Unter der Nullhypothese wird von einer Fehlerquote [math]\displaystyle{ p_0=0,02 }[/math] ausgegangen. Es wird mit einem Signifikanzniveau von [math]\displaystyle{ \alpha=0,05 }[/math] getestet, ob die Maschine fehlerhafter produziert.
Es ergibt sich für die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math], die die Anzahl fehlerhafter Teile angibt:
- [math]\displaystyle{ X \sim B(50, 0,02) }[/math]
Wird in der Stichprobe [math]\displaystyle{ X=3 }[/math] beobachtet, gilt:
- [math]\displaystyle{ P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) = 1 - \sum_{x=0}^2 \binom{50}{k} 0,02^k (0,98)^{50-k} \approx 0,047 }[/math]
Da diese Wahrscheinlichkeit kleiner als [math]\displaystyle{ \alpha=0,05 }[/math] ist, liegt das Ergebnis im Verwerfungsbereich. Die Nullhypothese wird verworfen.
Qualitätskontrolle mit 20 Teilen
Eine kleinere Stichprobe umfasst [math]\displaystyle{ n=20 }[/math] Teile. Unter der Nullhypothese beträgt die Fehlerquote [math]\displaystyle{ p_0=0,05 }[/math]. Es wird mit einem Signifikanzniveau [math]\displaystyle{ \alpha=0,05 }[/math] getestet.
Es werden [math]\displaystyle{ X=2 }[/math] fehlerhafte Teile gezählt. Dann gilt:
- [math]\displaystyle{ P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - \left[ \binom{20}{0} 0,05^0 (0,95)^{20} + \binom{20}{1} 0,05^1 (0,95)^{19} \right] \approx 0,264 }[/math]
Da diese Wahrscheinlichkeit größer als [math]\displaystyle{ \alpha=0,05 }[/math] ist, liegt das Ergebnis im Annahmebereich. Die Nullhypothese wird nicht verworfen.
Anwendungen
- Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung
- Risikoabschätzung in Versicherungen
- Analyse von Produktionsprozessen
- Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen