Binomialverteilung

Binomialverteilung

Wir betrachten im Folgenden Definitionen zur Binomialverteilung.

Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Experiment

Ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ergebnissen, Erfolg und Misserfolg, heißt Bernoulli-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg wird mit p und die Wahrscheinlichkeit für Misserfolg mit [math]\displaystyle{ q=1-p }[/math] bezeichnet. Ein Zufallsexperiment, das aus [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math] unabhängigen Durchführungen desselben Bernoulli-Experiments besteht, heißt Bernoulli-Kette der Länge n.

Binomialverteilung und -koeffizient

Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge n mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Erfolge an. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer mit [math]\displaystyle{ 0 \leq k \leq n }[/math] und [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math]: [math]\displaystyle{ P\left(X=k\right)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot\left(1-p\right)^{\left(n-k\right)} }[/math]

P heißt dann Binomialverteilung mit den Parametern n und p. Für [math]\displaystyle{ P(X=k) }[/math] schreibt man auch [math]\displaystyle{ B_{n;p}\left(k\right) }[/math] und nennt X eine [math]\displaystyle{ B_{n;p} }[/math]-verteilte Zufallsvariable. [math]\displaystyle{ \binom{n}{k} }[/math] heißt Binomialkoeffizient.

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Die Binomialverteilung besitzt den Erwartungswert [math]\displaystyle{ \mu=E\left(X\right)=n\cdot p }[/math], die Varianz [math]\displaystyle{ \sigma^2=V\left(X\right)=n\cdot p\cdot\left(1-p\right) }[/math] und die Standardabweichung [math]\displaystyle{ \sigma=\sqrt{V\left(X\right)}=\sqrt{n\cdot p\cdot\left(1-p\right)} }[/math].

Sigmaregeln binomialverteilte Zufallsvariablen

[math]\displaystyle{ P\left(\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma\right)\approx0,680 }[/math] [math]\displaystyle{ 1\sigma }[/math]-Regel

[math]\displaystyle{ P\left(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu+2\sigma\right)\approx0,955 }[/math] [math]\displaystyle{ 2\sigma }[/math]-Regel

[math]\displaystyle{ P\left(\mu-3\sigma\leq X\leq\mu+3\sigma\right)\approx0,997 }[/math] [math]\displaystyle{ 3\sigma }[/math]-Regel mit [math]\displaystyle{ \sigma \geq 3 }[/math]

[math]\displaystyle{ P\left(\mu-1,64\sigma\leq X\leq\mu+1,64\sigma\right)\approx0,9 }[/math] 90%-Regel

[math]\displaystyle{ P\left(\mu-1,96\sigma\leq X\leq\mu+1,96\sigma\right)\approx0,95 }[/math] 95%-Regel

[math]\displaystyle{ P\left(\mu-2,58\sigma\leq X\leq\mu+2,58\sigma\right)\approx0,99 }[/math] 99%-Regel

Beispiele

Binomialverteilung

Der einfache Münzwurf ist ein Bernoulli-Experiment. Es gilt p=0,5 (Zahl) und q=1-0,5=0,5 (Kopf). Der zweifache Münzwurf ist ein Beispiel für eine Bernoulli-Kette, da die Durchführungen unabhängig voneinander sind. D. h. bei jedem Münzwurf bleibt die Wahrscheinlichkeit für Zahl bzw. Kopf 0,5.

Die Wahrscheinlichkeit, beim 20-maligen Werfen eines Würfels genau 3-mal die 6 zu würfeln, beträgt:

[math]\displaystyle{ P\left(X=3\right)=\binom{20}{3}\cdot{\frac{1}{6}}^3\cdot\left(1-\frac{1}{6}\right)^{\left(20-3\right)}=\binom{20}{3}\cdot{\frac{1}{6}}^3\cdot{\frac{5}{6}}^{17}\approx0,238 }[/math]

Die Zufallsvariable X gibt die Häufigkeit einer 6 an. Die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln beträgt [math]\displaystyle{ \frac{1}{6} }[/math] und die Wahrscheinlichkeit keine 6 zu würfeln beträgt [math]\displaystyle{ \frac{5}{6} }[/math].

Eine Münze wird dreimal geworfen und man beobachtet, in welcher Reihenfolge Zahl (Z) und Kopf (K) oben liegen. Da ein Laplace-Experiment vorliegt, beträgt die Wahrscheinlichkeit genau zweimal Kopf zu werfen [math]\displaystyle{ \frac{3}{8}=0,375 }[/math] (Ereignis genau zweimal Kopf: [math]\displaystyle{ E=\{KKZ;KZK;ZKK\} }[/math] und es gibt 8 mögliche Ergebnisse). Die Berechnung mit der Binomialverteilung funktioniert wie folgt:

Wir betrachten die Zufallsvariable X, die die Häufigkeit von Kopf angibt, und wollen [math]\displaystyle{ P(X=2) }[/math] bestimmen. Jeder Pfad der Bernoulli-Kette besteht aus insgesamt 3 Teilpfade. Genau 2 Teilpfade müssen zu Kopf führen. Da die Reihenfolge der Teilpfade keine Rolle spielen und ein Teilpfad nicht doppelt vorkommen darf, gibt es insgesamt [math]\displaystyle{ \binom{3}{2}=3 }[/math] mögliche Pfade. Für jeden Pfad gilt: Zwei Teilpfade besitzen die Wahrscheinlichkeit 0,5 für Kopf und ein Teilpfad besitzt die Wahrscheinlichkeit 0,5 für Zahl. Es gilt also:

[math]\displaystyle{ P\left(X=2\right)=\binom{3}{2}\cdot{0,5}^2\cdot\left(1-0,5\right)^{\left(3-2\right)}=3\cdot{0,5}^2\cdot{0,5}^1=3\cdot0,125=0,375 }[/math]

[math]\displaystyle{ \binom{3}{2} }[/math] ist gleichbedeutend mit „wir wollen zwei Erfolge (Kopf) aus insgesamt 3 Würfen“. [math]\displaystyle{ 0,5^2 }[/math] ist die Wahrscheinlichkeit für zweimal Erfolg (Kopf) und [math]\displaystyle{ {0,5}^1 }[/math] ist die Wahrscheinlichkeit für einmal Misserfolg (Zahl).

Im Alter zwischen 15 und 20 Jahren rauchen 25,5% der deutschen Bevölkerung. In einer Schule mit 640 Schülerinnen und Schülern in diesem Alter rauchen 118 Schülerinnen und Schüler.

Betrachten wir die Zufallsvariable X, Anzahl rauchende 15-20-Jährige in der Schule, dann liegt eine Bernoulli-Kette mit n=640 und p=0,255 vor. Der Erwartungswert beträgt [math]\displaystyle{ \mu=640\ \cdot0,255=163,2 }[/math] und die Varianz ist [math]\displaystyle{ \sigma^2=640\cdot0,255\cdot0,745=121,584 }[/math]. Die Standardabweichung ist also [math]\displaystyle{ \sigma\approx\ 11,03 }[/math]. Wir setzen diese Werte in die Gleichung für die 95%-Regel ein und erhalten

[math]\displaystyle{ P\left(163,2-1,96\cdot11,03\leq X\le163+1,96\cdot11,03\right)\approx0,95 }[/math]

[math]\displaystyle{ P\left(141,6\le X\le184,8\right)\approx0,95 }[/math]

Legen wir zugrunde, dass ein Schüler oder eine Schülerin mit einer Wahrscheinlichkeit von 25,5% Raucher oder Raucherin ist, dann sind mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% zwischen 142 und 184 Raucherinnen und Raucher an der Schule.