Baumdiagramm
Zufallsexperimente in Baumdiagrammen darstellen
Zufallsexperimente werden mit Hilfe von Baumdiagrammen dargestellt, welche die Beziehungen zwischen einzelnen Stufen des Experiments und den Ergebnissen darstellt. Unter Beispielen ist ein Münzwurf dargestellt. Um die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen werden die folgenden Regeln angewendet.
Die Pfadmultiplikationsregel besagt, dass im Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit eines Pfades gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf den Teilstrecken des Pfades ist.
Die Pfadadditionsregel besagt, dass im Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der in diesem Ereignis enthaltenen Ergebnisse sind.
Zufallsexperiment dreifacher Münzwurf mit Pfadaddition und Pfadmultiplikation
Eine Münze wird dreimal geworfen und man beobachtet, in welcher Reihenfolge Zahl (Z) und Kopf (K) oben liegen. Die Ergebnismenge ist dann [math]\displaystyle{ S = \{ZZZ; ZZK; ZKZ; ZKK; KZZ; KZK; KKZ; KKK\} }[/math] und das Ereignis, dass kein Kopf erscheint, ist [math]\displaystyle{ A = \{ZZZ\} }[/math].
Das Ereignis, dass zwei- oder dreimal hintereinander Zahl erscheint, ist [math]\displaystyle{ B = \{ZZZ; ZZK; KZZ\} }[/math].
Die rechte Abbildung zeigt, wie eine Ergebnismenge S mit Hilfe eines Baumdiagramms dargestellt werden kann. Ereignis B tritt also ein, wenn das Zufallsexperiment entlang einer zu Ereignis B gehörigen Kantenkombination führt (z. B. KZZ).
Die Wahrscheinlichkeit für jede Teilstrecke ist 0,5. Wir definieren eine Zufallsvariable X, die die Häufigkeit von Zahl angibt. X kann dann die Werte 0, 1, 2 und 3 annehmen. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis {ZZZ} ist:
[math]\displaystyle{ P\left(ZZZ\right)=P(X=3)=0,5\cdot0,5\cdot0,5=0,125=12,5\% }[/math] (Pfadmultiplikation)
Das Ereignis „die ersten beiden Würfe ergeben Zahl“ ist [math]\displaystyle{ \{ZZZ; ZZK\} }[/math] mit der Wahrscheinlichkeit:
[math]\displaystyle{ P\left(\{ZZZ;ZZK\} \right)=P(\{ZZZ\})+P(\{ZZK\})=0,125+0,125=0,25=25\% }[/math] (Pfadaddition)