Menge

Eine Menge ist eine Sammlung von klar definierten, unterscheidbaren Objekten, die als ihre Elemente bezeichnet werden. Diese Elemente können alles Mögliche sein, z. B. Zahlen, Buchstaben, Punkte im Raum, andere Mengen usw.

Definition

Eine Menge [math]\displaystyle{ M }[/math] ist eine Zusammenfassung unterschiedlicher Objekte [math]\displaystyle{ x }[/math]. Die Objekte heißen Elemente der Menge [math]\displaystyle{ M }[/math]. Eine Menge wird durch Aufzählung ihrer Elemente oder durch die Angabe einer Eigenschaft beschrieben:

• [math]\displaystyle{ M_1=\{x_1;...;x_n\} }[/math] (Aufzählung der Elemente)
• [math]\displaystyle{ M_2=\{x~|~E(x)\} }[/math], (Alle [math]\displaystyle{ x }[/math], die Bedingung [math]\displaystyle{ E(x) }[/math] erfüllen)

Die Klammern {} heißen Mengenklammern. Das Semikolon trennt die Elemente innerhalb der Mengenklammern. Ist [math]\displaystyle{ x }[/math] Element der Menge [math]\displaystyle{ M }[/math] schreiben wir [math]\displaystyle{ x \in M }[/math]. Ist [math]\displaystyle{ y }[/math] kein Element der Menge [math]\displaystyle{ M }[/math] schreiben wir [math]\displaystyle{ y \notin M }[/math].

Teilmenge

[math]\displaystyle{ M_1 }[/math] und [math]\displaystyle{ M_2 }[/math] seien Mengen. Gilt für alle [math]\displaystyle{ x \in M_1 }[/math] auch [math]\displaystyle{ x \in M_2 }[/math], dann ist [math]\displaystyle{ M_1 }[/math] eine Teilmenge von [math]\displaystyle{ M_2 }[/math] und wir schreiben [math]\displaystyle{ M_1 \subseteq M_2 }[/math]. Existiert zusätzlich ein [math]\displaystyle{ y \in M_2 }[/math] mit [math]\displaystyle{ y \notin M_1 }[/math], dann ist [math]\displaystyle{ M_1 }[/math] eine echte Teilmenge von [math]\displaystyle{ M_2 }[/math] und wir schreiben [math]\displaystyle{ M_1 \subset M_2 }[/math].

Mengenoperationen

[math]\displaystyle{ M_1,~M_2 }[/math] seien Mengen.

Vereinigungsmenge

Die Menge [math]\displaystyle{ V=\{x~|~x \in M_1 \text{ oder } x \in M_2\} }[/math] heißt Vereinigungsmenge von [math]\displaystyle{ M_1 }[/math] und [math]\displaystyle{ M_2 }[/math]. Wir schreiben [math]\displaystyle{ V=M_1 \cup M_2 }[/math] und sagen [math]\displaystyle{ M_1 }[/math] vereinigt [math]\displaystyle{ M_2 }[/math].

Differenz

, dann enthält [math]\displaystyle{ M_1 \cup M_2 }[/math] (A vereinigt B) alle Elemente, die in A oder in B enthalten sind. [math]\displaystyle{ A \cap B }[/math] (A geschnitten B) enthält alle Elemente, die in A und in B enthalten sind. [math]\displaystyle{ A \setminus B }[/math] (A ohne B) enthält alle Elemente, die in A und nicht in B enthalten sind.

Bei einem Zufallsexperiment seien A, B Ereignisse. Dann gilt:

[math]\displaystyle{ P\left(A\ \cap\ B\right)=P\left(A\right)\ \cdot P\left(B\right) }[/math]

und

[math]\displaystyle{ P\left(A\ \cup\ B\right)=P\left(A\right)\ +P\left(B\right)-P\left(A\ \cap\ B\right) }[/math]