Rentenrechnung
Bei der Rentenrechnung analysieren wir regelmäßige Zahlungen von gleichhohen Beträgen, die zu einem Zinssatz und für eine Laufzeit angelegt werden.
Rente
Werden in regelmäßigen Abständen gleichhohe Ein- oder Auszahlungen vorgenommen, spricht man von einer Rente. Wir untersuchen in der Regel nur jährliche Zahlungen.
Nachschüssige und vorschüssige Renten
Eine Rente heißt nachschüssig bzw. vorschüssig, falls regelmäßige Zahlungen (auch Raten oder Annuitäten genannt) vom Betrag [math]\displaystyle{ r }[/math] zu Jahresende bzw. Jahresanfang gezahlt werden.
Nachschüssiger und vorschüssiger Rentenendwert
Für n Raten der Höhe r und einem Jahreszins von p ist
[math]\displaystyle{ R_n\left(n\right)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1} }[/math] (nachschüssig)
bzw.
[math]\displaystyle{ R_v\left(n\right)=r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{q-1} }[/math] (vorschüssig)
mit [math]\displaystyle{ q=1+p }[/math] der nach- bzw. vorschüssige Rentenendwert.
Nachschüssiger und vorschüssiger Rentenbarwert
Den nach- bzw. vorschüssigen Rentenbarwert
[math]\displaystyle{ R_n\left(0\right)=\frac{R_n\left(n\right)}{q^n}=r\cdot\frac{q^n-1}{\left(q-1\right)\cdot q^n} }[/math] (nachschüssig)
bzw.
[math]\displaystyle{ R_v\left(0\right)=\frac{R_v\left(n\right)}{q^n}=r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{\left(q-1\right)\cdot q^n} }[/math] (vorschüssig)
erhalten wir, indem wir den Rentenendwert abzinsen.
Beispiele
Wir legen für 6 Jahre jeweils am Ende des Jahres einen Geldbetrag über 5.000 € zu einem Zinssatz von 6 % an. Die letzte Spalte gibt an, wie viel die jeweilige Rate am Ende der 6 Jahre wert ist. Weil die Raten nachschüssig sind, erhalten wir für das Jahr der Einzahlung keine Zinsen, sondern nur für die darauffolgenden Jahre.
Nachschüssigen und vorschüssigen Rentenendwert berechnen
| Jahr | Rate r in € nachschüssig | Endkapital am Ende der 6 Jahre in € |
|---|---|---|
| 0 | 5.000 | [math]\displaystyle{ K\left(5\right)=5000\cdot{1,06}^5\approx6.691,13 }[/math] |
| 1 | 5.000 | [math]\displaystyle{ K\left(4\right)=5000\cdot{1,06}^4\approx6.312,38 }[/math] |
| 2 | 5.000 | [math]\displaystyle{ K\left(3\right)=5000\cdot{1,06}^3=5.955,08 }[/math] |
| 3 | 5.000 | [math]\displaystyle{ K\left(2\right)=5000\cdot{1,06}^2=5.618,00 }[/math] |
| 4 | 5.000 | [math]\displaystyle{ K\left(1\right)=5000\cdot{1,06}^1=5.300,00 }[/math] |
| 5 | 5.000 | [math]\displaystyle{ K\left(0\right)=5.000,00 }[/math] |
Addieren wir die Endkapitale der Raten, erhalten wir einen nachschüssigen Rentenendwert von [math]\displaystyle{ R_n\left(6\right)\approx6.691,13+6.312,38+5.955,08+5.618,00+5.300,00+5.000,00\approx34.876,59\ }[/math]€. Mit Hilfe der nachschüssigen Rentenendwertformel können wir diesen Betrag direkt berechnen:
[math]\displaystyle{ R_n\left(6\right)=5000\cdot\frac{{1,06}^6-1}{1,06-1}\approx34.876,59 }[/math]
Legen wir die 5.000 € vorschüssig über 6 Jahre zu einem Zinssatz von 6 % an, erhalten wir für das Jahr der Einzahlung ebenfalls Zinsen. Der vorschüssige Rentenendwert in € ist in diesem Fall
[math]\displaystyle{ R_v\left(6\right)\approx34.876,59\ \cdot1,06\ \approx36.969,19 }[/math]
bzw.
[math]\displaystyle{ R_v\left(6\right)=5000\cdot1,06\cdot\frac{{1,06}^6-1}{1,06-1}\approx36.969,19 }[/math]
Nachschüssigen und vorschüssigen Rentenbarwert berechnen
Den nach- bzw. vorschüssigen Rentenbarwert in € erhalten wir, indem wir die Rentenendwerte jeweils 6-mal abzinsen:
[math]\displaystyle{ R_n\left(0\right)\approx\frac{34.876,59}{{1,06}^6}\approx24.586,62 }[/math]
bzw.
[math]\displaystyle{ R_v\left(0\right)\approx\frac{36.969,19\ \ }{{1,06}^6}\approx26.061,82 }[/math]
Rate berechnen
Damit wir die Rate r zu [math]\displaystyle{ R_n\left(6\right)=34.876,59 }[/math] und q=1,06 berechnen können, stellen wir die nachschüssige Rentenendwertformel nach r um:
[math]\displaystyle{ R_n\left(n\right)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}\ |∶\frac{q^n-1}{q-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ r=R_n\left(n\right)\cdot\frac{q-1}{q^n-1} }[/math]
und setzen die oberen Werte ein:
[math]\displaystyle{ r=34.876,59\ \cdot\frac{1,06-1}{{1,06}^6-1}\ \approx5.000 }[/math]
Laufzeit berechnen
Um die Laufzeit n zum nachschüssigen Rentenendwert [math]\displaystyle{ R_n\left(n\right)=34.876,59 }[/math] mit [math]\displaystyle{ q=1,06 }[/math] und [math]\displaystyle{ r=5.000 }[/math] zu ermitteln, verwenden wir die Tabellenfunktion des Taschenrechners und geben die Formel ein.
In der Tabelle sehen wir beispielsweise, dass nach einer Laufzeit von 6 Jahren der nachschüssige Rentenendwert [math]\displaystyle{ R_n\left(6\right)\approx34.876,59 }[/math] beträgt. Ende im Tabellenbereich gibt an, für wie viele Jahre der nachschüssige Rentenendwert berechnet werden soll.
Bemerkung
Es muss immer die im Sachzusammenhang sinnvolle Rentenformel ausgewählt werden, bevor die Tabellenfunktion oder die Umformung nach r angewendet wird!
Herleitung der nachschüssigen Rentenendwertformel
Wir zinsen die Raten bis zum Zeitpunkt n auf und Formen die resultierende Formel geschickt um:
[math]\displaystyle{ R_n\left(n\right)=r\cdot q^{n-1}+r\cdot q^{n-2}+\ldots+r\ |\ \cdot q }[/math]
[math]\displaystyle{ R_n\left(n\right)\cdot q=r\cdot q^n+r\cdot q^{n-1}+\ldots+r\cdot q^1\ }[/math]
[math]\displaystyle{ R_n\left(n\right)\cdot q-R_n\left(n\right)=r\cdot q^n-r R_n\left(n\right)\cdot(q-1)=r\cdot(q^n-1)\ |\∶(q-1) }[/math]
[math]\displaystyle{ R_n\left(n\right)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1} }[/math]