Extremwert: Unterschied zwischen den Versionen

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==Extremwerte bestimmen==

Extremwerte lassen sich mit Hilfe der [[Ableitungsfunktion]] bestimmen. Dafür werden die folgenden Bedingungen verwendet und anschließend wird der Extremwert berechnet.

Extremwerte lassen sich mit Hilfe der [[Ableitungsfunktion]] bestimmen. Dafür werden die folgenden Bedingungen verwendet und anschließend wird der Extremwert berechnet. Im Folgenden sei <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f</math> [[Ableitungsfunktion#Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt|differenzierbar]] mit <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> und den [[Ableitungsfunktion#Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt|Ableitungsfunktionen]] <math>f'</math> und <math>f''</math>.

===Notwendige Bedingung für Extremstellen===

Für eine [[Funktion]] <math>f</math>, die an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> [[Ableitungsfunktion#Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt|differenzierbar]] ist, gilt:

Wenn der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt besitzt, dann ist <math>f'(x_0)=0</math>. D. h. <math>x_0</math> ist eine [[Nullstelle]] von <math>f'</math>.

Wenn der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0 ~~\in \mathbb{D}_f~~</math> einen Extrempunkt besitzt, dann ist <math>f'(x_0)=0</math>. D. h. <math>x_0</math> ist eine [[Nullstelle]] von <math>f'</math>.

===Hinreichende Bedingung für Extremstellen===

~~Für~~ eine [[Funktion]] <math>f</math> ~~mit~~ der [[~~Ableitungsfunktion~~#~~Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt~~|~~Ableitungsfunktion~~]] <math>f'</math> ~~in einem Intervall gilt:~~

Wenn <math>f'</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> eine [[Nullstelle]] hat und <math>f'</math> bei <math>x_0</math> die <math>x</math>-Achse schneidet, dann hat der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt. Wechselt die Steigung bei <math>x_0</math> von negativ zu positiv, liegt bei <math>x_0</math> ein Minimum vor. Wechselt die Steigung bei <math>x_0</math> von positiv zu negativ, liegt bei <math>x_0</math> ein Maximum vor. Diese Bedingung heißt '''Vorzeichenwechselkriterium'''.

Wenn <math>f'</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> eine [[Nullstelle]] hat und <math>f'</math> bei <math>x_0</math> die <math>x</math>-Achse schneidet, dann hat der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt.

~~Falls die zweite Ableitung~~ <math>f''</math> ~~existiert, so gilt~~:

'''Alternativ''' können wir <math>f''</math> verwenden:

Ist <math>f'(x_0)=0</math> und <math>f''(x_0)\neq0</math>, dann hat der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt. Gilt <math>f''(x_0)>0</math> liegt ein Minimum vor. Gilt <math>f''(x_0)<0</math> liegt ein Maximum vor.

===Extremwert berechnen===

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 ==Extremwerte bestimmen==
-Extremwerte lassen sich mit Hilfe der [[Ableitungsfunktion]] bestimmen. Dafür werden die folgenden Bedingungen verwendet und anschließend wird der Extremwert berechnet.
+Extremwerte lassen sich mit Hilfe der [[Ableitungsfunktion]] bestimmen. Dafür werden die folgenden Bedingungen verwendet und anschließend wird der Extremwert berechnet. Im Folgenden sei <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f</math> [[Ableitungsfunktion#Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt|differenzierbar]] mit <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> und den [[Ableitungsfunktion#Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt|Ableitungsfunktionen]] <math>f'</math> und <math>f''</math>.
 ===Notwendige Bedingung für Extremstellen===
-Für eine [[Funktion]] <math>f</math>, die an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> [[Ableitungsfunktion#Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt|differenzierbar]] ist, gilt:
+Wenn der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt besitzt, dann ist <math>f'(x_0)=0</math>. D. h. <math>x_0</math> ist eine [[Nullstelle]] von <math>f'</math>.
-Wenn der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> einen Extrempunkt besitzt, dann ist <math>f'(x_0)=0</math>. D. h. <math>x_0</math> ist eine [[Nullstelle]] von <math>f'</math>.
 ===Hinreichende Bedingung für Extremstellen===
-Für eine [[Funktion]] <math>f</math> mit der [[Ableitungsfunktion#Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt|Ableitungsfunktion]] <math>f'</math> in einem Intervall gilt:
+Wenn <math>f'</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> eine [[Nullstelle]] hat und <math>f'</math> bei <math>x_0</math> die <math>x</math>-Achse schneidet, dann hat der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt. Wechselt die Steigung bei <math>x_0</math> von negativ zu positiv, liegt bei <math>x_0</math> ein Minimum vor. Wechselt die Steigung bei <math>x_0</math> von positiv zu negativ, liegt bei <math>x_0</math> ein Maximum vor. Diese Bedingung heißt '''Vorzeichenwechselkriterium'''.
-Wenn <math>f'</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> eine [[Nullstelle]] hat und <math>f'</math> bei <math>x_0</math> die <math>x</math>-Achse schneidet, dann hat der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt.
-Falls die zweite Ableitung <math>f''</math> existiert, so gilt:
+'''Alternativ''' können wir <math>f''</math> verwenden:
-Ist <math>f'(x_0)=0</math> und <math>f''(x_0)\neq0</math>, dann hat der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt. Gilt <math>f''(x_0)>0</math> liegt ein Minimum vor. Gilt <math>f''(x_0)<0</math>  liegt ein Maximum vor.
+Ist <math>f'(x_0)=0</math> und <math>f''(x_0)\neq0</math>, dann hat der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt. Gilt <math>f''(x_0)>0</math> liegt ein Minimum vor. Gilt <math>f''(x_0)<0</math> liegt ein Maximum vor.
 ===Extremwert berechnen===