Lineare Funktion

Lineare Funktionen sind ein wesentlicher Bestandteil der Analysis und damit ein Gebiet der Mathematik. Sie haben viele praktische Anwendungen in verschiedenen Bereichen wie Wirtschaft, Ingenieurwesen, Naturwissenschaften und Sozialwissenschaften und beschreiben die Beziehung zwischen zwei Variablen, die linear miteinander verbunden sind, und können verwendet werden, um Trends, Muster und Veränderungen im Verhalten von Phänomenen zu analysieren und vorherzusagen.

Definition

Eine Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] mit der Funktionsvorschrift [math]\displaystyle{ f(x)=mx+b }[/math] heißt lineare Funktion mit der Steigung [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{R} }[/math] und dem [math]\displaystyle{ y }[/math]-Achsenabschnitt [math]\displaystyle{ b \in \mathbb{R} }[/math]. Die Gleichung der Geraden ist [math]\displaystyle{ y=mx+b }[/math]. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Ein Punkt [math]\displaystyle{ P(c|d) }[/math] liegt genau dann auf dem Graph von [math]\displaystyle{ f }[/math], wenn gilt: [math]\displaystyle{ d=m \cdot c+b }[/math].

Beispiel lineare Funktion

Graph von [math]\displaystyle{ f(x)=2x+2 }[/math] mit Steigung und y-Achsenabschenitt

Gegeben ist die Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] mit [math]\displaystyle{ f(x)=2x+2 }[/math]. Der [math]\displaystyle{ y }[/math]-Achsenabschnitt ist [math]\displaystyle{ 2 }[/math], da die Gerade im Punkt [math]\displaystyle{ (0|2) }[/math] die [math]\displaystyle{ y }[/math]-Achse schneidet. Die Steigung ist [math]\displaystyle{ 2 }[/math], da man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben gehen kann, um wieder auf die Gerade zu kommen. Die Gleichung der Geraden ist: [math]\displaystyle{ y=2x+2 }[/math]

Beispiel Punktprobe

Wir betrachten wieder die lineare Funktion [math]\displaystyle{ f(x)=2x+2 }[/math]. Der Punkt [math]\displaystyle{ P(2|3) }[/math] liegt nicht auf der Geraden. Dies kann man auch rechnerisch überprüfen. Setzt man die Koordinaten in die Gleichung der Geraden ein, gilt [math]\displaystyle{ 3\neq2\cdot2+2=6 }[/math]. Die rechnerische Überprüfung, ob ein Punkt auf der Geraden der Funktion liegt, heißt Punktprobe.

Punkt-Steigungsform der Geradengleichung

Sind zwei Punkte [math]\displaystyle{ P_1(x_1| y_1) }[/math] und [math]\displaystyle{ P_2(x_2| y_2) }[/math] gegeben, dann lässt sich eindeutig eine Gerade durch diese beiden Punkte zeichnen. Falls [math]\displaystyle{ x_1 \neq x_2 }[/math], ist dies der Graph einer linearen Funktion. Die Steigung dieser Geraden ist dann [math]\displaystyle{ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} }[/math]. Die Gleichung der Geraden kann in der Punkt-Steigungs-Form angegeben werden:

[math]\displaystyle{ y=m(x-x_1) +y_1 }[/math]

Wenn [math]\displaystyle{ m=0 }[/math] ist, wird die lineare Funktion als konstante Funktion bezeichnet.

Beispiel Punktsteigungsform ermitteln

Graph von [math]\displaystyle{ f(x)=1,5x+0 }[/math]

Gegeben sind die Punkte [math]\displaystyle{ P_1(2|3) }[/math] und [math]\displaystyle{ P_2(4|6) }[/math] dann ist [math]\displaystyle{ m=\frac{6-3}{4-2}=\frac{3}{2}=1,5 }[/math]. Die Gleichung der Punkt-Steigungs-Form ist: [math]\displaystyle{ y=1,5(x-2)+3=1,5x-1,5 \cdot 2+3=1,5x-3+3=1,5x }[/math]

Beispiel y-Achsenabschnitt durch Einsetzen eines Punktes berechnen

Alternativ können wir b berechnen, indem wir [math]\displaystyle{ P_1 }[/math] in die Funktion [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=1,5x+b }[/math] einsetzen: [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=1,5x+b }[/math] [math]\displaystyle{ 3=1,5\cdot 2+b }[/math] [math]\displaystyle{ 3=3+b\ |\ -3 }[/math] [math]\displaystyle{ 0=b }[/math] Also ist die Funktionsvorschrift [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=1,5x }[/math].

Schnittpunkt von zwei Geraden bestimmen

Sind zwei lineare Funktionsvorschriften [math]\displaystyle{ y\ =m_1x+b_1 }[/math] und [math]\displaystyle{ y\ =m_2x+b_2 }[/math] gegeben, dann kann die Schnittstelle durch Gleichsetzen und Umformen nach [math]\displaystyle{ x }[/math] errechnet werden:

[math]\displaystyle{ m_2x+b_2=\ m_1x+b_1\ |-\ b_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ m_2x=\ m_1x+b_1-b_2\ |-m_1x }[/math]

[math]\displaystyle{ m_2x-m_1x=\ b_1-b_2\ |\ x\ \text{ausklammern} }[/math]

[math]\displaystyle{ {x(m}_2-m_1)=\ b_1-b_2\ |\ \div\ {(m}_2-m_1) }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\ \frac{b_1-b_2}{m_2-m_1} }[/math]

Der dazugehörige [math]\displaystyle{ y }[/math]-Wert wird durch Einsetzen in eine der Funktionsvorschriften, z. B. [math]\displaystyle{ y\ =m_2x+b_2 }[/math], berechnet: [math]\displaystyle{ y\ =m_2\frac{b_1-b_2}{m_2-m_1}+b_2 }[/math]

Parallele und orthogonale lineare Funktionen berechnen

Orthogonale Geraden besitzen genau einen Schnittpunkt und parallele Geraden besitzen keinen Schnittpunkt.

Beispiel

Schnittpunkt [math]\displaystyle{ g\left(x\right)=-2x+3 }[/math] von [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=2x-1 }[/math] und [math]\displaystyle{ g\left(x\right)=-2x+3 }[/math]

Gegeben sind die Funktionen [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=2x-1 }[/math] und [math]\displaystyle{ g\left(x\right)=-2x+3 }[/math].

Gleichsetzen liefert

[math]\displaystyle{ 2x-1=-2x+3\ |+1 }[/math]

[math]\displaystyle{ 2x=-2x+4\ |+2x }[/math]

[math]\displaystyle{ 4x=\ 4\ |\div4 }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\ 1 }[/math]

und Einsetzen von [math]\displaystyle{ x }[/math] ergibt

[math]\displaystyle{ f\left(1\right)=2\cdot 1-1=1 }[/math]

Also ist der Schnittpunkt [math]\displaystyle{ S\left(1|1\right) }[/math]

Nullstellen

Nullstellen sind die [math]\displaystyle{ x-Werte }[/math], bei denen der Graph die [math]\displaystyle{ x-Achse }[/math] schneidet. Für eine lineare Funktion

[math]\displaystyle{ y=mx+b }[/math]

wird die Nullstelle berechnet, indem [math]\displaystyle{ y=0 }[/math] eingesetzt und nach [math]\displaystyle{ x }[/math] umgeformt wird:

[math]\displaystyle{ 0=mx+b\ |-b }[/math]

[math]\displaystyle{ -b=\ mx\ |\ \div m }[/math]

[math]\displaystyle{ -\frac{b}{m}=\ x }[/math]

Beispiel Nullstellenberechnung

Graph zur Nullstelle [math]\displaystyle{ x=\ -\frac{1}{2} }[/math] der Funktion [math]\displaystyle{ y=2x+1 }[/math]

Gegeben ist die lineare Funktion

[math]\displaystyle{ f:y=2x+1 }[/math]

Setzt man [math]\displaystyle{ y=0 }[/math] ein, folgt

[math]\displaystyle{ 0=2x+1\ |-1 }[/math]

[math]\displaystyle{ -1=\ 2x\ |\ \div2 }[/math]

[math]\displaystyle{ -\frac{1}{2}=\ x }[/math]

Also ist [math]\displaystyle{ x=\ -\frac{1}{2} }[/math] die Nullstelle.

Beispiel lineare Funktion ohne Nullstelle

Graph der Funktion [math]\displaystyle{ f(x)=0x+1 }[/math] die keine Nullstelle hat

Gegeben ist die lineare Funktion

[math]\displaystyle{ f:y=0x+1 }[/math]

Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 1. Berechnen wir die Nullstelle, erhalten wir:

[math]\displaystyle{ 0=0x+1 }[/math]

[math]\displaystyle{ 0= 1 }[/math]

Das ist ein Widerspruch, da [math]\displaystyle{ 0\neq 1 }[/math] ist. Die lineare Funktion hat also keine Nullstelle. Dies erkennt man auch am Graphen der Funktion, dieser verläuft parallel zur [math]\displaystyle{ x }[/math]-Achse und hat damit keine Nullstellen.

Beispiel lineare Funktion mit unendlich vielen Nullstellen

Graph von [math]\displaystyle{ f:y=0x+0 }[/math] mit unendlich vielen Nullstellen

Gegeben ist die lineare Funktion

[math]\displaystyle{ f:y=0x+0 }[/math]

Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 0. Berechnen wir die Nullstelle, erhalten wir:

[math]\displaystyle{ 0=0x+0 }[/math]

[math]\displaystyle{ 0= 0 }[/math]

Die Aussage ist wahr, also ist jeder [math]\displaystyle{ x }[/math]-Wert eine Nullstelle von [math]\displaystyle{ f }[/math]. Der Graph verläuft vollständig auf der x-Achse.