Ganzrationale Funktion: Unterschied zwischen den Versionen
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Eine Funktion <math>f</math>, deren Funktionsterm <math>f(x)</math> als Polynom geschrieben werden kann, heißt '''ganzrationale Funktion'''. Der Grad des Polynoms heißt auch '''Grad der ganzrationalen Funktion'''. | Eine Funktion <math>f</math>, deren Funktionsterm <math>f(x)</math> als Polynom geschrieben werden kann, heißt '''ganzrationale Funktion'''. Der Grad des Polynoms heißt auch '''Grad der ganzrationalen Funktion'''. | ||
==Beispiele | ==Beispiele== | ||
===Lineare Funktion=== | |||
Eine lineare Funktion der Form <math>f(x)=mx+b</math> ist eine ganzrationale Funktion. Der Funktionsterm lässt sich auch als <math>mx^1+b</math> schreiben und ist damit ein Polynom mit dem Grad <math>1</math>. Die Koeffizienten sind <math>m, b</math>. | |||
===Quadratische Funktion=== | |||
Die quadratische Funktion <math>f(x)=-2x^2+3x+5</math> ist eine ganzrationale Funktion mit Grad <math>2</math> und den Koeffizienten <math>-2,3,5</math>. | |||
===Ganzrationale Funktion 3. Grades=== | |||
<math>f(x)=4x^3-24x^2+36</math> ist eine ganzrationale Funktion, da der Funktionsterm, <math>4x^3-24x^2+36</math>, ein Polynom ist. Der Grad von <math>f</math> ist <math>3</math>. Die Koeffizienten sind <math>3, -2, 0, 36</math>. Der Graph sieht wie folgt aus: | <math>f(x)=4x^3-24x^2+36</math> ist eine ganzrationale Funktion, da der Funktionsterm, <math>4x^3-24x^2+36</math>, ein Polynom ist. Der Grad von <math>f</math> ist <math>3</math>. Die Koeffizienten sind <math>3, -2, 0, 36</math>. Der Graph sieht wie folgt aus: | ||
[[Datei:GanzrationaleFunktionBeispiel.png|mini|Graph der ganzrationalen Funktionen<math>f(x)=4x^3-24x^2+24</math>]] | [[Datei:GanzrationaleFunktionBeispiel.png|mini|Graph der ganzrationalen Funktionen<math>f(x)=4x^3-24x^2+24</math>]] | ||
Version vom 26. Dezember 2023, 08:59 Uhr
Ganzrationale Funktionen haben die Form [math]\displaystyle{ f(x)=a_n \cdot x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 }[/math]. Jede lineare und jede quadratische Funktion ist auch gleichzeitig eine ganzrationale Funktion.
Definition
Ein Term der Form [math]\displaystyle{ a_n \cdot x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 }[/math] mit [math]\displaystyle{ a_n,...,a_0 \in \mathbb{R} }[/math] und [math]\displaystyle{ a_n \neq 0 }[/math] heißt Polynom mit der Variablen [math]\displaystyle{ x }[/math]. Der Exponent [math]\displaystyle{ n }[/math] heißt Grad des Polynoms.
Die Zahlen [math]\displaystyle{ a_n,...,a_0 }[/math] heißen Koeffizienten.
Eine Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math], deren Funktionsterm [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] als Polynom geschrieben werden kann, heißt ganzrationale Funktion. Der Grad des Polynoms heißt auch Grad der ganzrationalen Funktion.
Beispiele
Lineare Funktion
Eine lineare Funktion der Form [math]\displaystyle{ f(x)=mx+b }[/math] ist eine ganzrationale Funktion. Der Funktionsterm lässt sich auch als [math]\displaystyle{ mx^1+b }[/math] schreiben und ist damit ein Polynom mit dem Grad [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. Die Koeffizienten sind [math]\displaystyle{ m, b }[/math].
Quadratische Funktion
Die quadratische Funktion [math]\displaystyle{ f(x)=-2x^2+3x+5 }[/math] ist eine ganzrationale Funktion mit Grad [math]\displaystyle{ 2 }[/math] und den Koeffizienten [math]\displaystyle{ -2,3,5 }[/math].
Ganzrationale Funktion 3. Grades
[math]\displaystyle{ f(x)=4x^3-24x^2+36 }[/math] ist eine ganzrationale Funktion, da der Funktionsterm, [math]\displaystyle{ 4x^3-24x^2+36 }[/math], ein Polynom ist. Der Grad von [math]\displaystyle{ f }[/math] ist [math]\displaystyle{ 3 }[/math]. Die Koeffizienten sind [math]\displaystyle{ 3, -2, 0, 36 }[/math]. Der Graph sieht wie folgt aus:
