Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Unterschied zwischen den Versionen
Die Seite wurde neu angelegt: „==Flächeninhaltsfunktion und Stammfunktion== Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion <math>f</math> und der x-Achse im Intervall <math>[0;x]</math> wird durch den Funktionswert einer '''Flächeninhaltsfunktion''' <math>A</math> ermittelt. Es sei <math>F</math> die Stammfunktion zu einer Funktion <math>f</math> mit der Konstanten <math>C=0</math>, dann ist <math>F</math> die Flächeninhaltsfunktion zu <math>f</math>. ==Bestimmtes Int…“ |
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Mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung werden Flächeninhalte zwischen dem [[Graph|Graphen]] einer [[Funktion]] der x-Achse berechnet. | |||
==Flächeninhaltsfunktion und Stammfunktion== | ==Flächeninhaltsfunktion und Stammfunktion== | ||
Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion <math>f</math> und der x-Achse im Intervall <math>[0;x]</math> wird durch den Funktionswert einer '''Flächeninhaltsfunktion''' <math>A</math> ermittelt. | Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion <math>f</math> und der x-Achse im Intervall <math>[0;x]</math> wird durch den Funktionswert einer '''Flächeninhaltsfunktion''' <math>A</math> ermittelt. | ||
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==Bestimmtes Integral== | ==Bestimmtes Integral== | ||
Das '''bestimmte Integral''' einer Funktion <math>f</math> auf dem Intervall <math>[a; b]</math> entspricht dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse im gegebenen Intervall. | Das '''bestimmte Integral''' einer [[Stetige_Funktion|stetigen]] Funktion <math>f</math> auf dem Intervall <math>[a; b]</math> mit <math>f(x) \in \mathbb{R}^{\geq 0}</math> entspricht dem Flächeninhalt zwischen dem [[Graph|Graphen]] der Funktion und der x-Achse im gegebenen Intervall. | ||
Falls <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist, so wird das bestimmte Integral durch die | ==Definition== | ||
Falls <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist, so wird das bestimmte Integral durch die Gleichung | |||
:<math>\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)</math> | :<math>\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)</math> | ||
berechnet. | berechnet. | ||
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* Liegt der Graph von <math>f</math> oberhalb der x-Achse, ist der Flächeninhalt positiv. | * Liegt der Graph von <math>f</math> oberhalb der x-Achse, ist der Flächeninhalt positiv. | ||
* Liegt der Graph von <math>f</math> unterhalb der x-Achse, ist der Flächeninhalt negativ. | * Liegt der Graph von <math>f</math> unterhalb der x-Achse, ist der Flächeninhalt negativ. | ||
* Verläuft der Graph von <math>f</math> sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse, ist der Flächeninhalt die Differenz | |||