Produktregel: Unterschied zwischen den Versionen

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 ==Beweis der Produktregel==
+Wir leiten die Funktion <math>f:\mathbb{D}\rightarrow \mathbb{R}</math> mit der Funktionsvorschrift <math>f(x)=u(x) \cdot v(x)</math> ab.
+Ableitung durch Grenzwert des Differenzenquotienten ausdrücken:
+: <math> f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} </math>
+Da <math> f(x) = u(x) \cdot v(x) </math>, setzen wir das in den Differenzenquotienten ein:
+: <math> f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{u(x_0 + h) \cdot v(x_0 + h) - u(x_0) \cdot v(x_0)}{h} </math>
+Nun erweitern wir den Ausdruck durch geschicktes Hinzufügen und Subtrahieren eines Terms, um den Differenzenquotienten in zwei Teile aufzuteilen:
+: <math> f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{u(x_0 + h) \cdot v(x_0 + h) - u(x_0) \cdot v(x_0 + h) + u(x) \cdot v(x_0 + h) - u(x_0) \cdot v(x_0)}{h} </math>
+Das kann weiter umgeschrieben werden zu:
+:<math> f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{[u(x_0 + h) - u(x_0)] \cdot v(x_0 + h)}{h} + \frac{u(x_0) \cdot [v(x_0 + h) - v(x_0)]}{h} \right) </math>
+Nun können wir die Grenzwerte einzeln betrachten:
+- Der erste Term wird zu <math> u'(x_0) \cdot v(x_0) </math>, weil <math> \lim_{h \to 0} v(x_0 + h) = v(x_0) </math>.
+- Der zweite Term wird zu <math> u(x_0) \cdot v'(x_0) </math>.
+Damit erhalten wir die Produktregel:
+<math> f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) </math>
 ==Quotientenregel==
 ==Beispiele==