Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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==Eigenschaften der Exponentialfunktion== | ==Eigenschaften der Exponentialfunktion== | ||
[[Datei:ExponentialfunktionVerlauf.png|mini|Graphen der Exponentialfunktionen <math>g_1(x)=2\cdot 3^x, | [[Datei:ExponentialfunktionVerlauf.png|mini|Graphen der Exponentialfunktionen <math>g_1(x)=2\cdot 3^x</math>, <math>g_2(x)=2\cdot 0,3^x</math>, <math>g_3(x)=-2\cdot 3^x</math>, <math>g_4(x)=-2\cdot 0,3^x</math>]] | ||
Gegeben sei eine allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a. | Gegeben sei eine allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a. | ||
*Gilt <math>c>0</math> und <math>a>1</math> ist der Graph [[Monotone_Funktion#Definition|streng monoton steigend]] und eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskurve]]. Wir nennen das '''positives Wachstum'''. | *Gilt <math>c>0</math> und <math>a>1</math> ist der Graph [[Monotone_Funktion#Definition|streng monoton steigend]] und eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskurve]]. Wir nennen das '''positives Wachstum'''. | ||
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==Beispiele== | ==Beispiele== | ||
===Exponentialfunktionen mit verschiedenen Basen=== | ===Exponentialfunktionen mit verschiedenen Basen=== | ||
[[Datei:ExponentialfunktionBasen.png|mini|Graphen der Exponentialfunktionen <math>f_1(x)=4^x, | [[Datei:ExponentialfunktionBasen.png|mini|Graphen der Exponentialfunktionen <math>f_1(x)=4^x</math>, <math>f_2(x)=6^x</math>, <math>f_3(x)=0,7^x</math>, <math>f_4(x)=0,3^x</math> mit verschiedenen Basen]] | ||
Wir betrachten die Exponentialfunktionen <math>f_1(x)=4^x,~f_2(x)=6^x,~f_3(x)=0,7^x,~f_4(x)=0,3^x</math>. Die Basis für die Funktion <math>f_1</math> ist <math>a=4</math>, für jede der Funktionen gilt <math>c=1</math>. | Wir betrachten die Exponentialfunktionen <math>f_1(x)=4^x,~f_2(x)=6^x,~f_3(x)=0,7^x,~f_4(x)=0,3^x</math>. Die Basis für die Funktion <math>f_1</math> ist <math>a=4</math>, für jede der Funktionen gilt <math>c=1</math>. | ||
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===Exponentialfunktionen mit verschiedenen Faktoren=== | ===Exponentialfunktionen mit verschiedenen Faktoren=== | ||
[[Datei:ExponentialfunktionFaktoren.png|mini|Graphen der Exponentialfunktionen <math>f_5(x)=5 \cdot 3^x, | [[Datei:ExponentialfunktionFaktoren.png|mini|Graphen der Exponentialfunktionen <math>f_5(x)=5 \cdot 3^x</math>, <math>f_6(x)=0,2\cdot 3^x</math>, <math>f_7(x)=(-3)\cdot 3^x,</math> <math>f_8(x)=(-4)\cdot 3^x</math> mit verschienden Faktoren]] | ||
Wir betrachten die Exponentialfunktionen <math>f_5(x)=5 \cdot 3^x,~f_6(x)=0,2\cdot 3^x,~f_7(x)=(-3)\cdot 3^x,~f_8(x)=(-4)\cdot 3^x</math>. Für die y-Achsenabschnitte gilt <math>f_5(0)=5 \cdot 3^0=5,~f_6(0)=0,2\cdot 3^0=0,2,~f_7(x)=(-3)\cdot 3^0=-3,~f_8(x)=(-4)\cdot 3^0=-4</math>. Die Schnittpunkte mit der y-Achse lassen sich in den Graphen ablesen. Beispielsweise ist für <math>f_5</math> der Schnittpunkt mit der y-Achse <math>S_y(0|5)</math>. | Wir betrachten die Exponentialfunktionen <math>f_5(x)=5 \cdot 3^x,~f_6(x)=0,2\cdot 3^x,~f_7(x)=(-3)\cdot 3^x,~f_8(x)=(-4)\cdot 3^x</math>. Für die y-Achsenabschnitte gilt <math>f_5(0)=5 \cdot 3^0=5,~f_6(0)=0,2\cdot 3^0=0,2,~f_7(x)=(-3)\cdot 3^0=-3,~f_8(x)=(-4)\cdot 3^0=-4</math>. Die Schnittpunkte mit der y-Achse lassen sich in den Graphen ablesen. Beispielsweise ist für <math>f_5</math> der Schnittpunkt mit der y-Achse <math>S_y(0|5)</math>. | ||
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==Beschränkter Abnahmeprozess== | ==Beschränkter Abnahmeprozess== | ||
[[Datei:ExponentialfunktionBeschränkterAbnahmeprozess.png|mini|Graph der Exponentialfunktion <math>f(t)= | [[Datei:ExponentialfunktionBeschränkterAbnahmeprozess.png|mini|Graph der Exponentialfunktion <math>f(t)=180\cdot 0,8^x+20</math>]] | ||
Wir backen ein schmackhaftes Zwiebelbrot bei 210 °C und nehmen es anschließend aus dem Ofen. Die Raumtemperatur beträgt 20 °C. Wir modellieren im Folgenden den 30-minütigen Abkühlungsprozess durch eine Exponentialfunktion. Dabei ist <math>t</math> in Minuten und <math>f(t)</math> in °C angegeben. | Wir backen ein schmackhaftes Zwiebelbrot bei 210 °C und nehmen es anschließend aus dem Ofen. Die Raumtemperatur beträgt 20 °C. Wir modellieren im Folgenden den 30-minütigen Abkühlungsprozess durch eine erweiterte Exponentialfunktion der Form <math>f(x)=c \cdot a^x+d</math>. Dabei ist <math>t</math> in Minuten und <math>f(t)</math> in °C angegeben. | ||
Temperaturmessungen des Zweibelbrotes liefern, dass zum Zeitpunkt <math>t=0</math> die Temperatur 200 °C beträgt. Die erweiterte Exponentialfunktion <math>f(t)= | Da der Abkühlungsprozess 30 Minuten andauert, ist der [[Funktion#Definitions-_und_Wertebereich|Definitionsbereich]] <math>\mathbb{D}_f=[0;30]</math>. Temperaturmessungen des Zweibelbrotes liefern, dass zum Zeitpunkt <math>t=0</math> die Temperatur 200 °C und zum Zeitpunkt <math>t=1</math> die Temperatur 164 °C beträgt. Damit gilt | ||
<math>f(0)=c\cdot a^0+20</math> | |||
<math>200=c+20</math> | |||
<math>180=c</math> | |||
Die erweiterte Exponentialfunktion hat also die Form <math>f(x)=180 \cdot a^x+20</math>. Wir müssen die Basis <math>a</math> bestimmen: | |||
<math>f(1)=180\cdot a^1+20</math> | |||
<math>164=180 \cdot a +20</math> | |||
<math>144=180 \cdot a</math> | |||
<math>0,8=a</math> | |||
Die erweiterte Exponentialfunktion <math>f(t)=180\cdot 0,8^t+20</math> modelliert einen '''beschränkten Abnahmeprozess'''. | |||
==Beschränktes Wachstum== | ==Beschränktes Wachstum== | ||