Rentenrechnung

Bei der Rentenrechnung analysieren wir regelmäßige Zahlungen von gleichhohen Beträgen, die zu einem Zinssatz und für eine Laufzeit angelegt werden.

Rente

Werden in regelmäßigen Abständen gleichhohe Ein- oder Auszahlungen vorgenommen, spricht man von einer Rente. Wir untersuchen in der Regel nur jährliche Zahlungen.

Nachschüssige und vorschüssige Rentenwerte

Eine Rente heißt nachschüssig, falls regelmäßige Zahlungen (auch Raten oder Annuitäten genannt) vom Betrag [math]\displaystyle{ r }[/math] zu Jahresende gezahlt werden. Eine Rente heißt vorschüssig, falls regelmäßige Zahlungen vom Betrag [math]\displaystyle{ r }[/math] zu Jahresanfang gezahlt werden.

Für [math]\displaystyle{ n }[/math] Raten der Höhe [math]\displaystyle{ r }[/math], einem Jahreszins von [math]\displaystyle{ p }[/math] und [math]\displaystyle{ q=1+p }[/math] ist

• [math]\displaystyle{ R_n\left(n\right)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1} }[/math]´der nachschüssige Rentenendwert.
• [math]\displaystyle{ R_v\left(n\right)=r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{q-1} }[/math] der vorschüssige Rentenendwert.
• [math]\displaystyle{ R_n\left(0\right)=\frac{R_n\left(n\right)}{q^n}=r\cdot\frac{q^n-1}{\left(q-1\right)\cdot q^n} }[/math] der nachschüssige Rentenbarwert.
• [math]\displaystyle{ R_v\left(0\right)=\frac{R_v\left(n\right)}{q^n}=r\cdot q\cdot\frac{q^n-1}{\left(q-1\right)\cdot q^n} }[/math] der vorschüssige Rentenbarwert.

Definition

Bei der Rentenrechnung ermitteln wir je nach Problemstellung die Größen Rente, Zinssatz, Laufzeit und vorschüssiger bzw. nachschüssiger Rentenendwert bzw. Rentenbarwert.

Beispiele

Wir legen für 6 Jahre jeweils am Ende des Jahres einen Geldbetrag über 5.000 € zu einem Zinssatz von 6 % an. Die letzte Spalte gibt an, wie viel die jeweilige Rate am Ende der 6 Jahre wert ist. Weil die Raten nachschüssig sind, erhalten wir für das Jahr der Einzahlung keine Zinsen, sondern nur für die darauffolgenden Jahre.

Nachschüssigen und vorschüssigen Rentenendwert berechnen

Nachschüssige Rentenzahlungen über 5.000 € für 6 Jahre

Jahr	Rate r in € nachschüssig	Endkapital am Ende der 6 Jahre in €
0	5.000	[math]\displaystyle{ K\left(5\right)=5000\cdot{1,06}^5\approx6.691,13 }[/math]
1	5.000	[math]\displaystyle{ K\left(4\right)=5000\cdot{1,06}^4\approx6.312,38 }[/math]
2	5.000	[math]\displaystyle{ K\left(3\right)=5000\cdot{1,06}^3=5.955,08 }[/math]
3	5.000	[math]\displaystyle{ K\left(2\right)=5000\cdot{1,06}^2=5.618,00 }[/math]
4	5.000	[math]\displaystyle{ K\left(1\right)=5000\cdot{1,06}^1=5.300,00 }[/math]
5	5.000	[math]\displaystyle{ K\left(0\right)=5.000,00 }[/math]

Addieren wir die Endkapitale der Raten, erhalten wir einen nachschüssigen Rentenendwert von [math]\displaystyle{ R_n\left(6\right)\approx6.691,13+6.312,38+5.955,08+5.618,00+5.300,00+5.000,00\approx34.876,59\ }[/math]€. Mit Hilfe der nachschüssigen Rentenendwertformel können wir diesen Betrag direkt berechnen:

[math]\displaystyle{ R_n\left(6\right)=5000\cdot\frac{{1,06}^6-1}{1,06-1}\approx34.876,59 }[/math]

Legen wir die 5.000 € vorschüssig über 6 Jahre zu einem Zinssatz von 6 % an, erhalten wir für das Jahr der Einzahlung ebenfalls Zinsen. Der vorschüssige Rentenendwert in € ist in diesem Fall

[math]\displaystyle{ R_v\left(6\right)\approx34.876,59\ \cdot1,06\ \approx36.969,19 }[/math]

bzw.

[math]\displaystyle{ R_v\left(6\right)=5000\cdot1,06\cdot\frac{{1,06}^6-1}{1,06-1}\approx36.969,19 }[/math]

Nachschüssigen und vorschüssigen Rentenbarwert berechnen

Den nach- bzw. vorschüssigen Rentenbarwert in € erhalten wir, indem wir die Rentenendwerte jeweils 6-mal abzinsen:

[math]\displaystyle{ R_n\left(0\right)\approx\frac{34.876,59}{{1,06}^6}\approx24.586,62 }[/math]

bzw.

[math]\displaystyle{ R_v\left(0\right)\approx\frac{36.969,19\ \ }{{1,06}^6}\approx26.061,82 }[/math]

Rate berechnen

Damit wir die Rate r zu [math]\displaystyle{ R_n\left(6\right)=34.876,59 }[/math] und q=1,06 berechnen können, stellen wir die nachschüssige Rentenendwertformel nach r um:

[math]\displaystyle{ R_n(n)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}\ |:\frac{q^n-1}{q-1} }[/math]

[math]\displaystyle{ r=R_n\left(n\right)\cdot\frac{q-1}{q^n-1} }[/math]

und setzen die oberen Werte ein:

[math]\displaystyle{ r=34.876,59\ \cdot\frac{1,06-1}{{1,06}^6-1}\ \approx5.000 }[/math]

Laufzeit berechnen

Laufzeit mit Tabellenfunktion des Taschenrechners ermitteln

Um die Laufzeit n zum nachschüssigen Rentenendwert [math]\displaystyle{ R_n\left(n\right)=34.876,59 }[/math] mit [math]\displaystyle{ q=1,06 }[/math] und [math]\displaystyle{ r=5.000 }[/math] zu ermitteln, verwenden wir die Tabellenfunktion des Taschenrechners und geben die Formel ein.

In der Tabelle sehen wir beispielsweise, dass nach einer Laufzeit von 6 Jahren der nachschüssige Rentenendwert [math]\displaystyle{ R_n\left(6\right)\approx34.876,59 }[/math] beträgt. Ende im Tabellenbereich gibt an, für wie viele Jahre der nachschüssige Rentenendwert berechnet werden soll.

Bemerkung

Es muss immer die im Sachzusammenhang sinnvolle Rentenformel ausgewählt werden, bevor die Tabellenfunktion oder die Umformung nach r angewendet wird!

Herleitung der nachschüssigen Rentenendwertformel

Wir zinsen die Raten bis zum Zeitpunkt n auf und Formen die resultierende Formel geschickt um:

[math]\displaystyle{ R_n\left(n\right)=r\cdot q^{n-1}+r\cdot q^{n-2}+\ldots+r\ |\ \cdot q }[/math]

[math]\displaystyle{ R_n\left(n\right)\cdot q=r\cdot q^n+r\cdot q^{n-1}+\ldots+r\cdot q^1\ }[/math]

[math]\displaystyle{ R_n(n)\cdot q-R_n(n)=r\cdot q^n-r R_n(n)\cdot(q-1)=r\cdot(q^n-1)\ | : (q-1) }[/math]

[math]\displaystyle{ R_n\left(n\right)=r\cdot\frac{q^n-1}{q-1} }[/math]