Varianz (Statistik)

Wurden Merkmalsausprägungen zu einem quantitativen Merkmal erhoben, dann ist die Summe der Merkmalsausprägungen geteilt durch den Erhebungsumfang das arithmetische Mittel oder umgangssprachlich der Durchschnitt.

Definition

Es sei eine Zahlenfolge [math]\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R} }[/math] mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] und dem arithmetischen Mittel [math]\displaystyle{ \bar{x} }[/math] gegeben, dann heißt [math]\displaystyle{ s^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_1-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^n}{n} }[/math] Varianz.

Varianz und Häufigkeiten

Es sei [math]\displaystyle{ a_i }[/math] die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung [math]\displaystyle{ x_i }[/math] eines quantitativen Merkmals mit [math]\displaystyle{ n,a_i\in\mathbb{N} }[/math], [math]\displaystyle{ i \in \{1,...,n\} }[/math], [math]\displaystyle{ x_i \in \mathbb{R} }[/math] und [math]\displaystyle{ \bar{x} }[/math] das arithmetische Mittel. Der Erhebungsumfang ist [math]\displaystyle{ n }[/math]. Der Wert [math]\displaystyle{ s^2=\frac{a_1\cdot (x_1-\bar{x})^2+a_2 \cdot (x_1-\bar{x})^2+...+a_n \cdot (x_n-\bar{x})^n}{n} }[/math] heißt Varianz.

Beispiele

Varianz berechnen

Die folgende Tabelle zeigt ein Beispiel für eine Urliste. Die Stichprobe besteht aus den betrachteten Schülern. Es wird für das quantitative Merkmal Körpergröße in cm wird das arithmetische Mittel berechnet.

Schüler Nr.	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Körpergröße in cm	183	172	163	154	158	166	177	188	190

1. Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183; 172; 163; 154; 158; 166; 177; 188; 190.
2. Der Erhebungsumfang beträgt 9, da die Körpergröße von 9 Schülern erhoben wurde.
3. Das arithmetische Mittel ist [math]\displaystyle{ \bar{x}=\frac{183+ 172+ 163+ 154+ 158+ 166+ 177+ 188+ 190}{9}\approx172,33 }[/math]
4. Die Varianz ist [math]\displaystyle{ s^2=\frac{(183-172,33)^2+(172-172,33)^2+(163-172,33)^2+(154-172,33)^2+(158-172,33)^2+(166-172,33)^2+(177-172,33)^2+(188-172,33)^2+(190-172,33)^2}{9}\approx 151,23 }[/math]

Arithmetisches Mittel mit Häufigkeiten berechnen

Fügen wir noch einen 10. Schüler mit der Körpergröße 154 cm hinzu, so erhalten wir die folgende Urliste:

Schüler Nr.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Körpergröße in cm	183	172	163	154	158	166	177	188	190	154

1. Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183; 172; 163; 154; 158; 166; 177; 188; 190; 154.
2. Der Erhebungsumfang beträgt 10, da die Körpergröße von 10 Schülern erhoben wurde.
3. Die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung 154 ist 2, da zwei Schüler 154 cm groß sind.
4. Die absoluten Häufigkeiten der restlichen Merkmalsausprägungen sind 1, da jede andere Körpergröße nur genau einmal vorkommt.
5. Das arithmetische Mittel ist [math]\displaystyle{ \bar{x}=\frac{183+ 172+ 163+ 154+ 158+ 166+ 177+ 188+ 190 + 2 \cdot 154}{10} = 170,5 }[/math]
6. Die Varianz ist [math]\displaystyle{ s^2=\frac{2 \cdot (154-170,5)^2+(183-170,5)^2+(172-170,5)^2+(163-170,5)^2+(158-170,5)^2+(166-170,5)^2+(177-170,5)^2+(188-170,5)^2+(190-170,5)^2+(190-170,5)^2}{10} =177,25 }[/math]

Die Abweichung vom Mittelwert ist in diesem Beispiel größer als zuvor. Die Körpergrößen der Schüler weisen also eine höhere Streuung auf.