Arithmetisches Mittel: Unterschied zwischen den Versionen

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Wurden [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|Merkmalsausprägungen]] zu einem [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|quantitativen Merkmal]] erhoben, dann ist die Summe der Merkmalsausprägungen geteilt durch den Erhebungsumfang das arithmetische Mittel oder umgangssprachlich der Durchschnitt.

==Definition==

~~Für quantitative Merkmalsausprägungen~~ <math>~~a_1~~,~~a_2~~,... ~~a_n~~</math> eines Merkmals <math>M</math> ~~mit den absoluten Häufigkeiten~~ <math>~~H_1,H_2~~,...,~~H_n~~</math> ~~für~~ <math>n\in\mathbb{N}</math> ~~berechnet sich das~~ '''arithmetische Mittel''' <math>\bar{x}</math> ~~durch:~~

Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> gegeben, dann heißt <math>\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}</math> '''arithmetisches Mittel'''.

==Arithmetisches Mittel und Häufigkeiten==

Es sei <math>a_i</math> die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung <math>x_i</math> eines quantitativen Merkmals mit <math>n,a_i\in\mathbb{N}</math>, <math>i \in \{1,...,n\}</math> und <math>x_i \in \mathbb{R}</math>. Der Erhebungsumfang ist <math>n</math>. Der Wert <math>\bar{x}</math> durch <math>\bar{x}=\frac{a_1\cdot x_1+a_2\cdot x_2+...+a_n\cdot x_n}{n}</math> heißt '''arithmetische Mittel'''.

==Beispiele==

===Arithmetisches Mittel berechnen===

Die folgende Tabelle zeigt ein Beispiel für eine Urliste. Die Stichprobe besteht aus den betrachteten Schülern. Es wird für das quantitative Merkmal Körpergröße in cm wird das arithmetische Mittel berechnet.

{| class="wikitable"

|-

! Schüler Nr.

| 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9

|-

! Körpergröße in cm

| 183 || 172 || 163 || 154 || 158 || 166 || 177 || 188 || 190

|}

#Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183; 172; 163; 154; 158; 166; 177; 188; 190.

#Der Erhebungsumfang beträgt 9, da die Körpergröße von 9 Schülern erhoben wurde.

#Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x}=\frac{183+ 172+ 163+ 154+ 158+ 166+ 177+ 188+ 190}{9}\approx172,33</math>

~~<math>\bar{x}=\frac{H_1\cdot a_1+H_2\cdot a_2+\ldots+H_n\cdot a_n}{n}</math>~~

Die Schüler in der Klasse sind durchschnittlich 172,33 cm groß.

~~<html><iframe width~~=~~"280" height~~=~~"157.5" src~~=~~"https://www.youtube.com/embed/maEsC-e7hkA?si~~=~~Cguc4VtTTmFPrWiH" title~~=~~"YouTube video player" frameborder~~="0" ~~allow="accelerometer~~; ~~autoplay~~; ~~clipboard-write~~; ~~encrypted-media~~; ~~gyroscope~~; ~~picture-in-picture~~; ~~web-share" allowfullscreen>~~<~~/iframe~~></~~html~~>

===Arithmetisches Mittel mit Häufigkeiten berechnen===

Fügen wir noch einen 10. Schüler mit der Körpergröße 154 cm hinzu, so erhalten wir die folgende Urliste:

{| class="wikitable"

|-

! Schüler Nr.

| 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10

|-

! Körpergröße in cm

| 183 || 172 || 163 || 154 || 158 || 166 || 177 || 188 || 190 || 154

|}

#Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183; 172; 163; 154; 158; 166; 177; 188; 190; 154.

#Der Erhebungsumfang beträgt 10, da die Körpergröße von 9 Schülern erhoben wurde.

#Die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung 154 ist 2, da zwei Schüler 154 cm groß sind.

#Die absoluten Häufigkeiten der restlichen Merkmalsausprägungen sind 1, da jede andere Körpergröße nur genau einmal vorkommt.

#Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x}=\frac{183+ 172+ 163+ 154+ 158+ 166+ 177+ 188+ 190 + 2 \cdot 154}{9} = 170,5</math>

Da ein kleiner Schüler hinzugekommen ist, sind die Schüler in der Klasse durchschnittlich nur noch 170,5 cm groß.

[[Kategorie:Statistik]]

[[Kategorie:Fachabitur]]

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+Wurden [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|Merkmalsausprägungen]] zu einem [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|quantitativen Merkmal]] erhoben, dann ist die Summe der Merkmalsausprägungen geteilt durch den Erhebungsumfang das arithmetische Mittel oder umgangssprachlich der Durchschnitt.
 ==Definition==
-Für quantitative Merkmalsausprägungen <math>a_1,a_2,... a_n</math> eines Merkmals <math>M</math> mit den absoluten Häufigkeiten <math>H_1,H_2,...,H_n</math> für <math>n\in\mathbb{N}</math> berechnet sich das '''arithmetische Mittel''' <math>\bar{x}</math> durch:
+Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> gegeben, dann heißt <math>\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}</math> '''arithmetisches Mittel'''.
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/maEsC-e7hkA?si=Cguc4VtTTmFPrWiH" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
+==Arithmetisches Mittel und Häufigkeiten==
+Es sei <math>a_i</math> die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung <math>x_i</math> eines quantitativen Merkmals mit <math>n,a_i\in\mathbb{N}</math>, <math>i \in \{1,...,n\}</math> und <math>x_i \in \mathbb{R}</math>. Der Erhebungsumfang ist <math>n</math>. Der Wert <math>\bar{x}</math> durch <math>\bar{x}=\frac{a_1\cdot x_1+a_2\cdot x_2+...+a_n\cdot x_n}{n}</math> heißt '''arithmetische Mittel'''.
+==Beispiele==
+===Arithmetisches Mittel berechnen===
+Die folgende Tabelle zeigt ein Beispiel für eine Urliste. Die Stichprobe besteht aus den betrachteten Schülern. Es wird für das quantitative Merkmal Körpergröße in cm wird das arithmetische Mittel berechnet.
+{| class="wikitable"
+|-
+! Schüler Nr.
+| 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9
+|-
+! Körpergröße in cm
+| 183 || 172 || 163 || 154 || 158 || 166 || 177 || 188 || 190
+|}
+#Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183; 172; 163; 154; 158; 166; 177; 188; 190.
+#Der Erhebungsumfang beträgt 9, da die Körpergröße von 9 Schülern erhoben wurde.
+#Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x}=\frac{183+ 172+ 163+ 154+ 158+ 166+ 177+ 188+ 190}{9}\approx172,33</math>
-<math>\bar{x}=\frac{H_1\cdot a_1+H_2\cdot a_2+\ldots+H_n\cdot a_n}{n}</math>
+Die Schüler in der Klasse sind durchschnittlich 172,33 cm groß.
-<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/maEsC-e7hkA?si=Cguc4VtTTmFPrWiH" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
+===Arithmetisches Mittel mit Häufigkeiten berechnen===
+Fügen wir noch einen 10. Schüler mit der Körpergröße 154 cm hinzu, so erhalten wir die folgende Urliste:
+{| class="wikitable"
+|-
+! Schüler Nr.
+| 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10
+|-
+! Körpergröße in cm
+| 183 || 172 || 163 || 154 || 158 || 166 || 177 || 188 || 190 || 154
+|}
+#Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183; 172; 163; 154; 158; 166; 177; 188; 190; 154.
+#Der Erhebungsumfang beträgt 10, da die Körpergröße von 9 Schülern erhoben wurde.
+#Die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung 154 ist 2, da zwei Schüler 154 cm groß sind.
+#Die absoluten Häufigkeiten der restlichen Merkmalsausprägungen sind 1, da jede andere Körpergröße nur genau einmal vorkommt.
+#Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x}=\frac{183+ 172+ 163+ 154+ 158+ 166+ 177+ 188+ 190 + 2 \cdot 154}{9} = 170,5</math>
+Da ein kleiner Schüler hinzugekommen ist, sind die Schüler in der Klasse durchschnittlich nur noch 170,5 cm groß.
+[[Kategorie:Statistik]]
+[[Kategorie:Fachabitur]]