Nullstelle: Unterschied zwischen den Versionen
Die Seite wurde neu angelegt: „==Nullstellen== '''Nullstellen''' sind die <math>x-Werte</math>, bei denen der Graph die <math>x-Achse</math> schneidet. Für eine lineare Funktion <math>y=mx+b</math> wird die Nullstelle berechnet, indem <math>y=0</math> eingesetzt und nach <math>x</math> umgeformt wird: <math>0=mx+b\ |-b</math> <math>-b=\ mx\ |\ \div m</math> <math>-\frac{b}{m}=\ x</math> ===Beispiel Nullstellenberechnung=== mini|[[Graph z…“ |
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Nullstellen sind die <math>x</math>-Werte, bei denen der Graph die <math>x</math>-Achse schneidet oder berührt. | |||
==Definition== | |||
Die '''Nullstellen''' einer Funktion sind diejenigen Werte im [[Funktion#Definitions-_und_Wertebereich|Definitionsbereich]], für die der [[Funktion|Funktionswert]] gleich null ist. In einem Koordinatensystem entsprechen diese Werte den Schnitt- oder Berührungsstellen des [[Graph|Funktionsgraphen]] mit der x-Achse. Eine Funktion <math>f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{W}</math> hat eine Nullstelle bei <math>x_0 \in \mathbb{D}</math>, wenn <math>f(x_0)=0</math> gilt. | |||
<math> | ==Beispiele== | ||
===Lineare Funktion=== | |||
====Nullstellenberechnung für die allgemeine Funktionsvorschrift==== | |||
Für die lineare Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=mx+b</math> | |||
<math> | wird die Nullstelle berechnet, indem <math>f(x)=0</math> eingesetzt und nach <math>x</math> umgeformt wird: | ||
<math> | <math>f(x)=mx+b</math> | ||
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<math>-b=\ mx ~|~ : m</math> | |||
<math>-\frac{b}{m}= x</math> ist die Nullstelle. | |||
====Nullstellenberechnung für eine konkrete Funktionsvorschrift==== | |||
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Gegeben ist die lineare Funktion | Gegeben ist die lineare Funktion | ||
<math>f | <math>f(x)=2x+1</math> | ||
<math>0 | Setzt man <math>f(x)=0</math> ein, folgt | ||
<math> | <math>0=2x+1~|~-1</math> | ||
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<math>-\frac{1}{2}=\ x</math> ist die Nullstelle. | |||
=== | ====Lineare Funktion ohne Nullstelle==== | ||
[[Datei:LineareFunktionenKeineNullstelle.png|mini|[[Graph]] der Funktion <math>f(x)=0x+1</math> die keine Nullstelle hat]] | [[Datei:LineareFunktionenKeineNullstelle.png|mini|[[Graph]] der Funktion <math>f(x)=0x+1</math> die keine Nullstelle hat]] | ||
Gegeben ist die lineare Funktion | Gegeben ist die lineare Funktion | ||
<math>f | <math>f(x)=0x+1</math> | ||
Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 1. Berechnen wir die Nullstelle, erhalten wir: | Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 1. Berechnen wir die Nullstelle, erhalten wir: | ||
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Das ist ein Widerspruch, da <math>0\neq 1 </math> ist. Die lineare Funktion hat also keine Nullstelle. Dies erkennt man auch am [[Graph|Graphen]] der Funktion, dieser | Das ist ein Widerspruch, da <math>0\neq 1 </math> ist. Die lineare Funktion hat also keine Nullstelle. Dies erkennt man auch am [[Graph|Graphen]] der Funktion, da dieser parallel zur <math>x</math>-Achse verläuft und damit keine Nullstellen hat. | ||
=== | ====Lineare Funktion mit unendlich vielen Nullstellen ==== | ||
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Gegeben ist die lineare Funktion | Gegeben ist die lineare Funktion | ||
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Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 0. Berechnen wir die | Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 0. Berechnen wir die Nullstellen, erhalten wir: | ||
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Version vom 7. Juli 2024, 10:59 Uhr
Nullstellen sind die [math]\displaystyle{ x }[/math]-Werte, bei denen der Graph die [math]\displaystyle{ x }[/math]-Achse schneidet oder berührt.
Definition
Die Nullstellen einer Funktion sind diejenigen Werte im Definitionsbereich, für die der Funktionswert gleich null ist. In einem Koordinatensystem entsprechen diese Werte den Schnitt- oder Berührungsstellen des Funktionsgraphen mit der x-Achse. Eine Funktion [math]\displaystyle{ f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{W} }[/math] hat eine Nullstelle bei [math]\displaystyle{ x_0 \in \mathbb{D} }[/math], wenn [math]\displaystyle{ f(x_0)=0 }[/math] gilt.
Beispiele
Lineare Funktion
Nullstellenberechnung für die allgemeine Funktionsvorschrift
Für die lineare Funktion [math]\displaystyle{ f }[/math] mit [math]\displaystyle{ f(x)=mx+b }[/math]
wird die Nullstelle berechnet, indem [math]\displaystyle{ f(x)=0 }[/math] eingesetzt und nach [math]\displaystyle{ x }[/math] umgeformt wird:
[math]\displaystyle{ f(x)=mx+b }[/math]
[math]\displaystyle{ 0=mx+b\ ~|~-b }[/math]
[math]\displaystyle{ -b=\ mx ~|~ : m }[/math]
[math]\displaystyle{ -\frac{b}{m}= x }[/math] ist die Nullstelle.
Nullstellenberechnung für eine konkrete Funktionsvorschrift
Gegeben ist die lineare Funktion
[math]\displaystyle{ f(x)=2x+1 }[/math]
Setzt man [math]\displaystyle{ f(x)=0 }[/math] ein, folgt
[math]\displaystyle{ 0=2x+1~|~-1 }[/math]
[math]\displaystyle{ -1=\ 2x~|~:2 }[/math]
[math]\displaystyle{ -\frac{1}{2}=\ x }[/math] ist die Nullstelle.
Lineare Funktion ohne Nullstelle
Gegeben ist die lineare Funktion
[math]\displaystyle{ f(x)=0x+1 }[/math]
Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 1. Berechnen wir die Nullstelle, erhalten wir:
[math]\displaystyle{ 0=0x+1 }[/math]
[math]\displaystyle{ 0 = 1 }[/math]
Das ist ein Widerspruch, da [math]\displaystyle{ 0\neq 1 }[/math] ist. Die lineare Funktion hat also keine Nullstelle. Dies erkennt man auch am Graphen der Funktion, da dieser parallel zur [math]\displaystyle{ x }[/math]-Achse verläuft und damit keine Nullstellen hat.
Lineare Funktion mit unendlich vielen Nullstellen
Gegeben ist die lineare Funktion
[math]\displaystyle{ f(x)=0x+0 }[/math]
Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 0. Berechnen wir die Nullstellen, erhalten wir:
[math]\displaystyle{ 0=0x+0 }[/math]
[math]\displaystyle{ 0= 0 }[/math]
Die Aussage ist wahr, also ist jeder [math]\displaystyle{ x }[/math]-Wert eine Nullstelle von [math]\displaystyle{ f }[/math]. Der Graph verläuft vollständig auf der x-Achse.