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Lineare Funktion: Unterschied zwischen den Versionen

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==Definition==
==Definition==
Eine Funktion <math>f</math> mit der Funktionsvorschrift <math>f(x)=mx+b</math> heißt '''lineare Funktion''' mit der '''Steigung''' <math>m \in \mathbb{R}</math> und dem '''<math>y</math>-Achsenabschnitt''' <math>b \in \mathbb{R}</math>. Die Gleichung der Geraden ist <math>y=mx+b</math>. Der [[Graph]] einer linearen Funktion ist eine '''Gerade'''. Ein Punkt <math>P(c|d)</math> liegt genau dann auf dem [[Graph]] von <math>f</math>, wenn gilt: <math>d=m \cdot c+b</math>.
Eine Funktion <math>f</math> mit der Funktionsvorschrift <math>f(x)=mx+b</math> heißt '''lineare Funktion''' mit der '''Steigung''' <math>m \in \mathbb{R}</math> und dem '''<math>y</math>-Achsenabschnitt''' <math>b \in \mathbb{R}</math>. Die Gleichung der Geraden ist <math>y=mx+b</math>. Der [[Graph]] einer linearen Funktion ist eine '''Gerade'''. Ein Punkt <math>P(c|d)</math> liegt genau dann auf dem [[Graph]] von <math>f</math>, wenn <math>d=m \cdot c+b</math> gilt.
 
===Beispiel lineare Funktion===
[[Datei:LineareFunktionenDefinition.png|mini|[[Graph]] von <math>f(x)=2x+2</math> mit Steigung und y-Achsenabschenitt]]
Gegeben ist die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=2x+2</math>. Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist <math>2</math>, da die Gerade im Punkt <math>(0|2)</math> die <math>y</math>-Achse schneidet. Die Steigung ist <math>2</math>, da man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben gehen kann, um wieder auf die Gerade zu kommen. Die Gleichung der Geraden ist:
<math>y=2x+2</math>
 
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/VPeVCI3rFUQ?si=AetKtWp6hWlI9OTt" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
 
===x- und y-Werte einer linearen Funktion berechnen===
 
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/G9tk7CHKHCA?si=UcqmObFTcXC82LIN" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
===Beispiel Punktprobe===
Wir betrachten wieder die lineare Funktion <math>f(x)=2x+2</math>. Der Punkt <math>P(2|3)</math> liegt nicht auf der Geraden. Dies kann man auch rechnerisch überprüfen. Setzt man die Koordinaten in die Gleichung der Geraden ein, gilt <math>3\neq2\cdot2+2=6</math>. Die rechnerische Überprüfung, ob ein Punkt auf der Geraden der Funktion liegt, heißt '''Punktprobe'''.
 
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/c22sCWXvLBU?si=ODhKc53mv3Hargs2" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>


==Punkt-Steigungsform der Geradengleichung==
==Punkt-Steigungsform der Geradengleichung==
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Wenn <math>m=0</math> ist, wird die lineare Funktion als konstante Funktion bezeichnet.
Wenn <math>m=0</math> ist, wird die lineare Funktion als konstante Funktion bezeichnet.
===Beispiel Punktsteigungsform ermitteln===
[[Datei:LineareFunktionPunktSteigungsform.png|mini|[[Graph]] von <math>f(x)=1,5x+0</math>]]
Gegeben sind die Punkte <math>P_1(2|3)</math> und <math>P_2(4|6)</math>  dann ist <math>m=\frac{6-3}{4-2}=\frac{3}{2}=1,5</math>. Die Gleichung der Punkt-Steigungs-Form ist:
<math>y=1,5(x-2)+3=1,5x-1,5 \cdot 2+3=1,5x-3+3=1,5x</math>
===Beispiel y-Achsenabschnitt durch Einsetzen eines Punktes berechnen===
Alternativ können wir b berechnen, indem wir <math>P_1</math> in die Funktion <math>f\left(x\right)=1,5x+b</math> einsetzen:
<math>f\left(x\right)=1,5x+b</math>
<math>3=1,5\cdot 2+b</math>
<math>3=3+b\ |\ -3 </math>
<math>0=b</math>
Also ist die Funktionsvorschrift <math>f\left(x\right)=1,5x</math>.
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/VovlNXfugb8?si=vkEsmsV6SaCXUgKf" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>


==Schnittpunkt von zwei Geraden bestimmen==
==Schnittpunkt von zwei Geraden bestimmen==
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<math>y\ =m_2\frac{b_1-b_2}{m_2-m_1}+b_2</math>
<math>y\ =m_2\frac{b_1-b_2}{m_2-m_1}+b_2</math>


===Parallele und orthogonale lineare Funktionen berechnen===
==Lagebeziehungen zwischen Geraden==
Orthogonale Geraden besitzen genau einen Schnittpunkt und parallele Geraden besitzen keinen Schnittpunkt.
===Parallele Geraden===
[[Datei:LineareFunktionParalleleGeraden.png|mini|Parallele Gerade mit <math>f(x)=2 x+3</math> und <math>g(x)=2 x+1</math> ]]
Die Geraden von zwei linearen Funktionen <math>g(x)=m_1x+b_1</math> und <math>f(x)=m_2x+b_2</math> sind parallel, wenn sie sich nicht schneiden. Für parallele Geraden gilt <math>m_1=m_2</math>, d. h. die Steigungen sind gleich.
===Orthogonale Geraden===
[[Datei:LineareFunktionOrthogonaleGeraden.png|mini|Orthogonale Geraden mit <math>f(x)=2 x+3</math> und <math>f(x)=-\frac{1}{2} x+3</math>]]
Die Geraden von zwei linearen Funktionen <math>g(x)=m_1x+b_1</math> und <math>f(x)=m_2x+b_2</math> sind orthogonal, wenn sie einen rechten Winkel einschließen. Für orthogonale Geraden gilt <math>m_1 \cdot m_2=-1</math> bzw. <math>m_1 =-\frac{1}{m_2}</math>.
 
==Beispiele==
===Steigung, y-Achsenabschnitt und Graph einer linearen Funktion===
[[Datei:LineareFunktionenDefinition.png|mini|[[Graph]] von <math>f(x)=2x+2</math> mit Steigung und y-Achsenabschenitt]]
Gegeben ist die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=2x+2</math>. Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist <math>2</math>, da die Gerade im Punkt <math>(0|2)</math> die <math>y</math>-Achse schneidet. Die Steigung ist <math>2</math>, da man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben gehen kann, um wieder auf die Gerade zu kommen. Die Gleichung der Geraden ist <math>y=2x+2</math>.
 
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/VPeVCI3rFUQ?si=AetKtWp6hWlI9OTt" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
 
===x- und y-Werte einer linearen Funktion berechnen===
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/G9tk7CHKHCA?si=UcqmObFTcXC82LIN" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
 
===Punktprobe durchführen===
Wir betrachten wieder die lineare Funktion <math>f(x)=2x+2</math>. Der Punkt <math>P(2|3)</math> liegt nicht auf der Geraden. Dies kann man auch rechnerisch überprüfen. Setzt man die Koordinaten in die Gleichung der Geraden ein, gilt <math>3\neq2\cdot2+2=6</math>. Die rechnerische Überprüfung, ob ein Punkt auf der Geraden der Funktion liegt, heißt '''Punktprobe'''.
 
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/c22sCWXvLBU?si=ODhKc53mv3Hargs2" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
 
===Punktsteigungsform ermitteln===
[[Datei:LineareFunktionPunktSteigungsform.png|mini|[[Graph]] von <math>f(x)=1,5x+0</math>]]
Gegeben sind die Punkte <math>P_1(2|3)</math> und <math>P_2(4|6)</math>  dann ist <math>m=\frac{6-3}{4-2}=\frac{3}{2}=1,5</math>. Die Gleichung der Punkt-Steigungs-Form ist:
<math>y=1,5(x-2)+3=1,5x-1,5 \cdot 2+3=1,5x-3+3=1,5x</math>
 
===y-Achsenabschnitt durch Einsetzen eines Punktes berechnen===
Alternativ können wir b berechnen, indem wir <math>P_1</math> in die Funktion <math>f\left(x\right)=1,5x+b</math> einsetzen:
<math>f\left(x\right)=1,5x+b</math>
<math>3=1,5\cdot 2+b</math>
<math>3=3+b\ |\ -3 </math>
<math>0=b</math>
Also ist die Funktionsvorschrift <math>f\left(x\right)=1,5x</math>.


<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/VhOcdx_ojEk?si=UKZ5qgkGqAhQldV3" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/VovlNXfugb8?si=vkEsmsV6SaCXUgKf" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>


===Beispiel===
===Schnittpunkt ermitteln===
[[Datei:LineareFunktionenSchnittpunkt.png|mini|Schnittpunkt <math>g\left(x\right)=-2x+3</math> von <math>f\left(x\right)=2x-1</math> und <math>g\left(x\right)=-2x+3</math>]]
[[Datei:LineareFunktionenSchnittpunkt.png|mini|Schnittpunkt <math>g\left(x\right)=-2x+3</math> von <math>f\left(x\right)=2x-1</math> und <math>g\left(x\right)=-2x+3</math>]]
Gegeben sind die Funktionen <math>f\left(x\right)=2x-1</math> und <math>g\left(x\right)=-2x+3</math>.
Gegeben sind die Funktionen <math>f\left(x\right)=2x-1</math> und <math>g\left(x\right)=-2x+3</math>.
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<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/Vl1HDpwCOgc?si=y9f9QTZUw5Zsp85l" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/Vl1HDpwCOgc?si=y9f9QTZUw5Zsp85l" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>


==Nullstellen==
===Parallele und orthogonale lineare Funktionen berechnen===
'''Nullstellen''' sind die <math>x-Werte</math>, bei denen der Graph die <math>x-Achse</math> schneidet. Für eine lineare Funktion
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/VhOcdx_ojEk?si=UKZ5qgkGqAhQldV3" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
<math>y=mx+b</math>
 
wird die Nullstelle berechnet, indem <math>y=0</math> eingesetzt und nach <math>x</math> umgeformt wird:
 
<math>0=mx+b\ |-b</math>
 
<math>-b=\ mx\ |\  \div m</math>
 
<math>-\frac{b}{m}=\ x</math>
 
===Beispiel Nullstellenberechnung===
[[Datei:LineareFunktionNullstelle.png|mini|[[Graph]] zur Nullstelle <math>x=\ -\frac{1}{2}</math> der Funktion <math>y=2x+1</math>]]
Gegeben ist die lineare Funktion
 
<math>f:y=2x+1</math>
 
Setzt man <math>y=0</math> ein, folgt
 
<math>0=2x+1\ |-1</math>
 
<math>-1=\ 2x\ |\  \div2</math>
 
<math>-\frac{1}{2}=\ x</math>
 
Also ist <math>x=\ -\frac{1}{2}</math> die Nullstelle.
 
===Beispiel lineare Funktion ohne Nullstelle===
[[Datei:LineareFunktionenKeineNullstelle.png|mini|[[Graph]] der Funktion <math>f(x)=0x+1</math> die keine Nullstelle hat]]
Gegeben ist die lineare Funktion
 
<math>f:y=0x+1</math>
 
Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 1. Berechnen wir die Nullstelle, erhalten wir:
 
<math>0=0x+1</math>
 
<math>0= 1 </math>
 
Das ist ein Widerspruch, da <math>0\neq 1 </math> ist. Die lineare Funktion hat also keine Nullstelle. Dies erkennt man auch am [[Graph|Graphen]] der Funktion, dieser verläuft parallel zur <math>x</math>-Achse und hat damit keine Nullstellen.
 
===Beispiel lineare Funktion mit unendlich vielen Nullstellen ===
[[Datei:LineareFunktionenUnendlichVieleNullstellen.png|mini|[[Graph]] von <math>f:y=0x+0</math> mit unendlich vielen Nullstellen]]
Gegeben ist die lineare Funktion
 
<math>f:y=0x+0</math>
 
Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 0. Berechnen wir die Nullstelle, erhalten wir:
 
<math>0=0x+0</math>
 
<math>0= 0 </math>
 
Die Aussage ist wahr, also ist jeder <math>x</math>-Wert eine Nullstelle von <math>f</math>. Der [[Graph]] verläuft vollständig auf der x-Achse.


===[[Graph]] einer linearen Funktion mit Wertetabelle zeichnen===
===[[Graph]] einer linearen Funktion mit Wertetabelle zeichnen===
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/pZy8ephRE3s?si=nWaI_GC-os-IMmOC" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/pZy8ephRE3s?si=nWaI_GC-os-IMmOC" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
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