Eckpunktberechnungsmethode: Unterschied zwischen den Versionen

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== Definition ==
== Definition ==
Die '''Eckpunktberechnungsmethode''' basiert auf der mathematischen Erkenntnis, dass die optimale Lösung eines [[Lineares Optimierungsproblem|linearen Optimierungsproblems]] immer in einem Eckpunkt des zulässigen Bereichs (Planungspolyeder) liegt.
Die '''Eckpunktberechnungsmethode''' ist ein grafisches Lösungsverfahren für lineare Optimierungsprobleme mit zwei Variablen.


Dieses Verfahren ist besonders effizient bei zwei oder drei Entscheidungsvariablen, wenn die grafische Genauigkeit nicht ausreicht.
== Grundidee ==
* Der zulässige Bereich ist ein Vieleck
* Das Optimum liegt stets in einem '''Eckpunkt'''


== Vorgehensweise ==
== Vorgehen ==
Die Ermittlung der optimalen Lösung erfolgt in vier Schritten:
1. Zeichnen aller Nebenbedingungen
2. Bestimmung der Eckpunkte (Schnittpunkte der Geraden)
3. Berechnung der Zielfunktion an jedem Eckpunkt
4. Auswahl des optimalen Wertes


# '''Bestimmung des zulässigen Bereichs''': Aufstellen der Nebenbedingungen und der Nichtnegativitätsbedingungen.
== Mathematischer Hintergrund ==
# '''Identifikation der Eckpunkte''': Die Eckpunkte entstehen durch die Schnittpunkte der begrenzenden Geraden.
Die Eckpunkte entstehen durch das Lösen von linearen Gleichungssystemen (vgl. [[Lineares Gleichungssystem]]).
# '''Berechnung der Koordinaten''': Die Koordinaten der Eckpunkte werden durch das Lösen von [[Lineares Gleichungssystem|linearen Gleichungssystemen]] ermittelt (z. B. mit dem [[Gaußsches Eliminationsverfahren]]).
# '''Prüfung der Zielfunktion''': Alle berechneten Eckpunkte werden in die Zielfunktion eingesetzt. Der Punkt mit dem höchsten Wert (Maximierung) bzw. niedrigsten Wert (Minimierung) ist die optimale Lösung.


== Beispiel ==
== Beispiel ==
Betrachtet man das Beispiel der Modellwerk Ruhr GmbH, ergeben sich folgende Begrenzungslinien:
Zielfunktion:
* \(L_1: 2x_1 + x_2 = 100\)
:<math>Z = 4x + 3y \rightarrow \max</math>
* \(L_2: x_1 + 2x_2 = 80\)


Der relevante Eckpunkt \(C\) im Inneren entsteht durch den Schnittpunkt von \(L_1\) und \(L_2\):
Nebenbedingungen:
\[
:<math>
\begin{vmatrix}
\begin{aligned}
(I) & 2x_1 + x_2 = 100 \\
x + y &\le 6\\
(II) & x_1 + 2x_2 = 80
2x + y &\le 8\\
\end{vmatrix}
x,y &\ge 0
\]
\end{aligned}
Lösung mittels [[Gaußsches Eliminationsverfahren]]: \(x_1 = 40, x_2 = 20\).
</math>


'''Vergleich der Eckpunkte:'''
Die Eckpunkte werden berechnet und in die Zielfunktion eingesetzt.
* \(A(0|0) \Rightarrow z = 0\)
* \(B(50|0) \Rightarrow z = 2000\)
* \(C(40|20) \Rightarrow z = 2600\) (Optimum)
* \(D(0|40) \Rightarrow z = 2000\)


== Zusammenhang mit anderen Themen ==
== Wirtschaftlicher Bezug ==
Die Eckpunktberechnung ist eng verknüpft mit dem Thema [[Matrix|Matrizenrechnung]], da Bedingungssysteme auch in Matrixform geschrieben werden können. Im Vergleich zum [[Simplexalgorithmus]] ist sie anschaulicher, bei vielen Variablen jedoch deutlich aufwendiger.
Typische Anwendungen:
* Produktionsplanung
* Transportproblem
* Einsatzproblem
* Zuschnittproblem
 
== Vorteil ==
* Anschaulich
* Gut geeignet für den Grundkurs
 
== Nachteil ==
* Nur für zwei Variablen praktikabel


[[Kategorie:Lineare_Optimierung]]
[[Kategorie:Lineare_Optimierung]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

Version vom 6. Februar 2026, 09:21 Uhr

Definition

Die Eckpunktberechnungsmethode ist ein grafisches Lösungsverfahren für lineare Optimierungsprobleme mit zwei Variablen.

Grundidee

  • Der zulässige Bereich ist ein Vieleck
  • Das Optimum liegt stets in einem Eckpunkt

Vorgehen

1. Zeichnen aller Nebenbedingungen 2. Bestimmung der Eckpunkte (Schnittpunkte der Geraden) 3. Berechnung der Zielfunktion an jedem Eckpunkt 4. Auswahl des optimalen Wertes

Mathematischer Hintergrund

Die Eckpunkte entstehen durch das Lösen von linearen Gleichungssystemen (vgl. Lineares Gleichungssystem).

Beispiel

Zielfunktion:

[math]\displaystyle{ Z = 4x + 3y \rightarrow \max }[/math]

Nebenbedingungen:

[math]\displaystyle{ \begin{aligned} x + y &\le 6\\ 2x + y &\le 8\\ x,y &\ge 0 \end{aligned} }[/math]

Die Eckpunkte werden berechnet und in die Zielfunktion eingesetzt.

Wirtschaftlicher Bezug

Typische Anwendungen:

  • Produktionsplanung
  • Transportproblem
  • Einsatzproblem
  • Zuschnittproblem

Vorteil

  • Anschaulich
  • Gut geeignet für den Grundkurs

Nachteil

  • Nur für zwei Variablen praktikabel
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