Signifikanztest: Unterschied zwischen den Versionen

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 === Qualitätskontrolle mit 20 Teilen (Linksseitiger Signifikanztest)===
-Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Unter der Nullhypothese <math>H_0</math> beträgt die Fehlerquote <math>p_0 = 0,05</math>. Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert.
+Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen.
+* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,05</math> (Fehlerquote beträgt 5 %).
+* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,05</math> (Fehlerquote ist größer als 5 %).
+Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert.
 '''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
 Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
 :<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>.
-Man rechnet also im Durchschnitt mit 1 fehlerhaften Teil.
-'''2. Beobachtung:'''
+Der Annahmebereich umfasst alle Werte <math>x</math>, für die <math>P(X \ge x) > 0,05</math>.
+Die kleinste Zahl <math>x</math> mit <math>P(X \ge x) \le 0,05</math> ist der kritische Wert.
+Berechnung:
+:<math>P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) \approx 0,043</math>
-In der Stichprobe werden <math>X = 2</math> fehlerhafte Teile gefunden.
+→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 4</math>
+* Annahmebereich: <math>\{0,1,2,3\}</math>
+* Verwerfungsbereich: <math>\{4,5,\dots,20\}</math>
-'''3. Wahrscheinlichkeit berechnen:'''
+'''2. Beobachtung:'''
+<math>X = 2</math>
-Die Wahrscheinlichkeit, 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, lautet:
+'''3. Entscheidung:'''
-:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1)</math>
+Da <math>2</math> im Annahmebereich liegt, wird <math>H_0</math> nicht verworfen.
-Berechne <math>P(X \le 1)</math>:
+=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen (Linksseitiger Signifikanztest)===
+Eine Maschine produziert in Serie Teile. Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen.
+* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,02</math> (Fehlerquote beträgt 2 %).
+* Alternativhypothese: <math>H_1: p > 0,02</math> (Fehlerquote ist größer als 2 %).
-Für 0 defekte Teile: <math>P(X=0) = \binom{20}{0} \cdot 0,05^0 \cdot 0,95^{20} \approx 0,358</math>
+Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.
-Für 1 defektes Teil: <math>P(X=1) = \binom{20}{1} \cdot 0,05^1 \cdot 0,95^{19} \approx 0,377</math>
+'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
-Damit:
+<math>\operatorname{E}(X) = 50 \cdot 0,02 = 1</math>
-:<math>P(X \ge 2) = 1 - (0,358 + 0,377) = 0,265</math>.
-'''4. Entscheidung:'''
+Berechnung des kritischen Wertes:
+:<math>P(X \ge 3) = 0,047 \le 0,05</math>
+:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 0,264 > 0,05</math>
-Da <math>0,265 > 0,05</math>, liegt das Ergebnis im '''Annahmebereich'''.
+→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 3</math>
+* Annahmebereich: <math>\{0,1,2\}</math>
+* Verwerfungsbereich: <math>\{3,4,\dots,50\}</math>
-Die Nullhypothese wird ''nicht verworfen''.
+'''2. Beobachtung:'''
+<math>X = 3</math>
-Zwei fehlerhafte Teile sind also unter <math>H_0</math> nicht ungewöhnlich und liefern keinen signifikanten Hinweis auf eine höhere Fehlerquote.
+'''3. Entscheidung:'''
+Da <math>3</math> im Verwerfungsbereich liegt, wird <math>H_0</math> verworfen.
-=== Qualitätskontrolle mit 50 Teilen (Linksseitiger Signifikanztest)===
+=== Münzwurf-Experiment (Rechtsseitiger Signifikanztest)===
-Eine Maschine produziert in Serie Teile. Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen. Unter der Nullhypothese <math>H_0</math> beträgt die Fehlerquote <math>p_0 = 0,02</math>. Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert.
+Es wird eine Münze <math>n=40</math>-mal geworfen.
+* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,5</math> (die Münze ist fair).
+* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,5</math> (die Münze fällt seltener auf „Kopf“).
+Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.
 '''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
-Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
+<math>\operatorname{E}(X) = 40 \cdot 0,5 = 20</math>
-:<math>\operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 50 \cdot 0,02 = 1</math>.
-Im Durchschnitt wird also mit einem fehlerhaften Teil gerechnet.
+Berechnung des kritischen Wertes:
+:<math>P(X \le 14) \approx 0,040 \le 0,05</math>
+:<math>P(X \le 15) \approx 0,081 > 0,05</math>
+→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 14</math>
+* Verwerfungsbereich: <math>\{0,1,\dots,14\}</math>
+* Annahmebereich: <math>\{15,16,\dots,40\}</math>
+'''2. Beobachtung:'''
+<math>X = 14</math>
-'''2. Beobachtung:'''
+'''3. Entscheidung:'''
+Da <math>14</math> im Verwerfungsbereich liegt, wird <math>H_0</math> verworfen.
-In der Stichprobe werden <math>X = 3</math> fehlerhafte Teile gefunden.
+=== Produktionskontrolle mit Glühlampen (Rechtsseitiger Signifikanztest)===
+Ein Hersteller überprüft die Lebensdauer von Glühlampen. Es gilt <math>n=30</math>.
+* Nullhypothese: <math>H_0: p = 0,1</math> (10 % Ausfallrate).
+* Alternativhypothese: <math>H_1: p < 0,1</math> (Ausfallrate ist kleiner als 10 %).
-'''3. Wahrscheinlichkeit berechnen:'''
+Signifikanzniveau: <math>\alpha = 0,05</math>.
-Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 3 fehlerhafte Teile zu finden, lautet:
+'''1. Erwartungswert und Annahmebereich:'''
-:<math>P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2)</math>
-Berechne <math>P(X \le 2)</math>:
+<math>\operatorname{E}(X) = 30 \cdot 0,1 = 3</math>
-:<math>P(X \le 2) = \sum_{x=0}^{2} \binom{50}{x} \cdot 0,02^x \cdot 0,98^{50-x} \approx 0,953</math>
-Dann:
+Berechnung des kritischen Wertes:
-:<math>P(X \ge 3) = 1 - 0,953 = 0,047</math>
+:<math>P(X \le 0) \approx 0,042 \le 0,05</math>
+:<math>P(X \le 1) \approx 0,150 > 0,05</math>
-'''4. Entscheidung:'''
+→ Kritischer Wert: <math>x_{\text{krit}} = 0</math>
+* Verwerfungsbereich: <math>\{0\}</math>
+* Annahmebereich: <math>\{1,2,\dots,30\}</math>
-Da <math>0,047 < 0,05</math>, liegt das Ergebnis im '''Verwerfungsbereich'''.
+'''2. Beobachtung:'''
+<math>X = 0</math>
-Die Nullhypothese wird ''verworfen'': Es gibt einen signifikanten Hinweis darauf, dass die Fehlerquote der Maschine größer als <math>0,02</math> ist.
+'''3. Entscheidung:'''
+Da <math>0</math> im Verwerfungsbereich liegt, wird <math>H_0</math> verworfen.
 === Anwendungen ===