Signifikanztest

Ein Signifikanztest ist ein Werkzeug der Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit dem überprüft wird, ob eine getroffene Annahme über eine Zufallsvariable auf Grundlage einer Stichprobe beibehalten oder verworfen werden sollte.

Null- und Gegenhypothese

Für die Durchführung eines Signifikanztests werden zwei Hypothesen formuliert:

• Die Nullhypothese [math]\displaystyle{ H_0 }[/math]: Sie beschreibt die Ausgangsannahme über die Zufallsvariable und wird solange als gültig betrachtet, bis sie durch den Test widerlegt wird.
• Die Gegenhypothese [math]\displaystyle{ H_1 }[/math]: Sie stellt die Alternative zu [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] dar und wird angenommen, wenn genügend Hinweise vorliegen, dass [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] nicht zutrifft.

Definition

Ein Signifikanztest überprüft auf Basis der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable, ob die Nullhypothese [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] auf einem vorgegebenen Signifikanzniveau [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] verworfen wird.

• Wird [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] verworfen, spricht man von einem signifikanten Ergebnis.
• Wird [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] nicht verworfen, reichen die vorliegenden Daten nicht aus, um [math]\displaystyle{ H_1 }[/math] zu stützen.

Einseitiger Signifikanztest

Beim einseitigen Signifikanztest wird nur eine Abweichung in eine Richtung untersucht. Die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] folgt unter der Nullhypothese einer bekannten Verteilung, z. B. einer Binomialverteilung.

• Der Bereich, in dem [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] nicht verworfen wird, heißt Annahmebereich.
• Der Bereich, in dem [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] verworfen wird, heißt Verwerfungsbereich.
• Der Wert, der den Übergang zwischen Annahme- und Verwerfungsbereich angibt, wird kritische Zahl genannt.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass das Testergebnis fälschlicherweise im Verwerfungsbereich liegt, wird Irrtumswahrscheinlichkeit oder Signifikanzniveau [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] genannt.

Fehler 1. Art

Ein Fehler 1. Art tritt auf, wenn die Nullhypothese [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler entspricht dem Signifikanzniveau [math]\displaystyle{ \alpha }[/math].

Fehler 2. Art

Ein Fehler 2. Art tritt auf, wenn die Nullhypothese [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler wird mit [math]\displaystyle{ \beta }[/math] bezeichnet.

Beispiele

Qualitätskontrolle mit 20 Teilen

Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von [math]\displaystyle{ n=20 }[/math] Teilen gezogen. Unter der Nullhypothese [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] beträgt die Fehlerquote [math]\displaystyle{ p_0 = 0,05 }[/math]. Es soll auf einem Signifikanzniveau von [math]\displaystyle{ \alpha = 0,05 }[/math] getestet werden, ob die Maschine fehlerhafter produziert (einseitiger Test nach oben).

1. Erwartungswert und Annahmebereich:

Der Erwartungswert unter [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] ist

[math]\displaystyle{ \operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1 }[/math].

Man rechnet also im Durchschnitt mit 1 fehlerhaften Teil.

2. Beobachtung:

In der Stichprobe werden [math]\displaystyle{ X = 2 }[/math] fehlerhafte Teile gefunden.

3. Wahrscheinlichkeit berechnen:

Die Wahrscheinlichkeit, 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, lautet:

[math]\displaystyle{ P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) }[/math]

Berechne [math]\displaystyle{ P(X \le 1) }[/math]:

Für 0 defekte Teile: [math]\displaystyle{ P(X=0) = \binom{20}{0} \cdot 0,05^0 \cdot 0,95^{20} \approx 0,358 }[/math]

Für 1 defektes Teil: [math]\displaystyle{ P(X=1) = \binom{20}{1} \cdot 0,05^1 \cdot 0,95^{19} \approx 0,377 }[/math]

Damit:

[math]\displaystyle{ P(X \ge 2) = 1 - (0,358 + 0,377) = 0,265 }[/math].

4. Entscheidung:

Da [math]\displaystyle{ 0,265 \gt 0,05 }[/math], liegt das Ergebnis im Annahmebereich.

Die Nullhypothese wird nicht verworfen.

Zwei fehlerhafte Teile sind also unter [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] nicht ungewöhnlich und liefern keinen signifikanten Hinweis auf eine höhere Fehlerquote.

Qualitätskontrolle mit 50 Teilen

Eine Stichprobe von [math]\displaystyle{ n=50 }[/math] Teilen wird gezogen. Unter der Nullhypothese [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] beträgt die Fehlerquote [math]\displaystyle{ p_0 = 0,02 }[/math]. Es soll auf einem Signifikanzniveau von [math]\displaystyle{ \alpha = 0,05 }[/math] getestet werden, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert.

1. Erwartungswert und Annahmebereich:

Der Erwartungswert unter [math]\displaystyle{ H_0 }[/math] ist

[math]\displaystyle{ \operatorname{E}(X) = n \cdot p_0 = 50 \cdot 0,02 = 1 }[/math].

Im Durchschnitt wird also mit einem fehlerhaften Teil gerechnet.

2. Beobachtung:

In der Stichprobe werden [math]\displaystyle{ X = 3 }[/math] fehlerhafte Teile gefunden.

3. Wahrscheinlichkeit berechnen:

Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 3 fehlerhafte Teile zu finden, lautet:

[math]\displaystyle{ P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) }[/math]

Berechne [math]\displaystyle{ P(X \le 2) }[/math]:

[math]\displaystyle{ P(X \le 2) = \sum_{x=0}^{2} \binom{50}{x} \cdot 0,02^x \cdot 0,98^{50-x} \approx 0,953 }[/math]

Dann:

[math]\displaystyle{ P(X \ge 3) = 1 - 0,953 = 0,047 }[/math]

4. Entscheidung:

Da [math]\displaystyle{ 0,047 \lt 0,05 }[/math], liegt das Ergebnis im Verwerfungsbereich.

Die Nullhypothese wird verworfen: Es gibt einen signifikanten Hinweis darauf, dass die Fehlerquote der Maschine größer als [math]\displaystyle{ 0,02 }[/math] ist.

Anwendungen

Qualitätskontrollen in der industriellen Fertigung

Risikoabschätzung in Versicherungen

Analyse von Produktionsprozessen

Überprüfung von Hypothesen in betriebswirtschaftlichen Modellen