Signifikanztest: Unterschied zwischen den Versionen

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 ==Beispiele==
+===Qualitätskontrolle mit 20 Teilen===
+Eine Maschine produziert in Serie Teile. Es wird eine Stichprobe von <math>n=20</math> Teilen gezogen. Unter der Nullhypothese <math>H_0</math> beträgt die Fehlerquote <math>p_0 = 0,05</math>. Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine fehlerhafter produziert (**einseitiger Test nach oben**).
+**1. Erwartungswert und Annahmebereich:**
+Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
+:<math>E(X) = n \cdot p_0 = 20 \cdot 0,05 = 1</math>.
+Man rechnet also im Durchschnitt mit 1 fehlerhaften Teil.
+**2. Beobachtung:**
+In der Stichprobe werden <math>X = 2</math> fehlerhafte Teile gefunden.
+**3. Wahrscheinlichkeit berechnen:**
+Die Wahrscheinlichkeit, 2 oder mehr fehlerhafte Teile zu finden, lautet:
+:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1)</math>
+Berechne <math>P(X \le 1)</math>:
+* Für 0 defekte Teile: <math>P(X=0) = \binom{20}{0} \cdot 0,05^0 \cdot 0,95^{20} \approx 0,358</math>
+* Für 1 defektes Teil: <math>P(X=1) = \binom{20}{1} \cdot 0,05^1 \cdot 0,95^{19} \approx 0,377</math>
+Damit:
+:<math>P(X \ge 2) = 1 - (0,358 + 0,377) = 0,265</math>.
+**4. Entscheidung:**
+Da <math>0,265 > 0,05</math>, liegt das Ergebnis im '''Annahmebereich'''.
+Die Nullhypothese wird **nicht verworfen**.
+Zwei fehlerhafte Teile sind also unter <math>H_0</math> nicht ungewöhnlich und liefern keinen signifikanten Hinweis auf eine höhere Fehlerquote.
 ===Qualitätskontrolle mit 50 Teilen===
-Es wird eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen aus der Produktion gezogen. Unter der Nullhypothese wird von einer Fehlerquote <math>p_0=0,02</math> ausgegangen. Es wird mit einem Signifikanzniveau von <math>\alpha=0,05</math> getestet, ob die Maschine fehlerhafter produziert.
+Eine Stichprobe von <math>n=50</math> Teilen wird gezogen. Unter der Nullhypothese <math>H_0</math> beträgt die Fehlerquote <math>p_0 = 0,02</math>. Es soll auf einem Signifikanzniveau von <math>\alpha = 0,05</math> getestet werden, ob die Maschine zu viele fehlerhafte Teile produziert.
-Es ergibt sich für die Zufallsvariable <math>X</math>, die die Anzahl fehlerhafter Teile angibt:
+**1. Erwartungswert und Annahmebereich:**
-:<math>X \sim B(50; 0,02)</math>
+Der Erwartungswert unter <math>H_0</math> ist
+:<math>E(X) = n \cdot p_0 = 50 \cdot 0,02 = 1</math>.
+Im Durchschnitt wird also mit einem fehlerhaften Teil gerechnet.
-Wird in der Stichprobe <math>X=3</math> beobachtet, gilt:
+**2. Beobachtung:**
-:<math>P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) = 1 - \sum_{x=0}^2 \binom{50}{k} 0,02^k (0,98)^{50-k} \approx 0,047</math>
+In der Stichprobe werden <math>X = 3</math> fehlerhafte Teile gefunden.
-Da diese Wahrscheinlichkeit kleiner als <math>\alpha=0,05</math> ist, liegt das Ergebnis im '''Verwerfungsbereich'''. Die Nullhypothese wird verworfen.
+**3. Wahrscheinlichkeit berechnen:**
+Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 3 fehlerhafte Teile zu finden, lautet:
+:<math>P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2)</math>
-===Qualitätskontrolle mit 20 Teilen===
+Berechne <math>P(X \le 2)</math>:
-Eine kleinere Stichprobe umfasst <math>n=20</math> Teile. Unter der Nullhypothese beträgt die Fehlerquote <math>p_0=0,05</math>. Es wird mit einem Signifikanzniveau <math>\alpha=0,05</math> getestet.
+:<math>P(X \le 2) = \sum_{x=0}^{2} \binom{50}{x} \cdot 0,02^x \cdot 0,98^{50-x} \approx 0,953</math>
-Es werden <math>X=2</math> fehlerhafte Teile gezählt. Dann gilt:
+Dann:
-:<math>P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - \left[ \binom{20}{0} 0,05^0 (0,95)^{20} + \binom{20}{1} 0,05^1 (0,95)^{19} \right] \approx 0,264</math>
+:<math>P(X \ge 3) = 1 - 0,953 = 0,047</math>
-Da diese Wahrscheinlichkeit größer als <math>\alpha=0,05</math> ist, liegt das Ergebnis im '''Annahmebereich'''. Die Nullhypothese wird nicht verworfen.
+**4. Entscheidung:**
+Da <math>0,047 < 0,05</math>, liegt das Ergebnis im '''Verwerfungsbereich'''.
+Die Nullhypothese wird **verworfen**: Es gibt einen signifikanten Hinweis darauf, dass die Fehlerquote der Maschine größer als <math>0,02</math> ist.
 ===Anwendungen===