Produktregel: Unterschied zwischen den Versionen

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+Die Produktregel ist ein Regel zum ableiten von Funktionen. Die Quotientenregel ist das Anwenden der Produktregel auf eine Funktion der Form <math>f(x)=u(x)v(x)^{-1}</math>.
 ==Definition==
 Sind <math>u:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>v:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}</math> [[Ableitung|differenzierbare]] Funktionen, so ist auch
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 ==Beispiele==
+===Produktregel===
+Gegeben seien die Funktionen <math>u(x) = 2x</math> und <math>v(x) = x^2</math>.
+Wir suchen die Ableitung der Funktion <math>f(x) = u(x) \cdot v(x)</math>.
+Nach der Produktregel gilt:
+<math>f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)</math>.
+Berechnen wir die Ableitungen:
+<math>u'(x) = 2</math> und <math>v'(x) = 2x</math>.
+Einsetzen ergibt:
+<math>f'(x) = 2 \cdot x^2 + 2x \cdot 2x = 2x^2 + 4x^2 = 6x^2</math>.
+===Quotientenregel===
+Gegeben seien die Funktionen <math>u(x) = x^2</math> und <math>v(x) = 2x</math> mit <math>v(x) \neq 0</math>.
+Wir suchen die Ableitung der Funktion <math>g(x) = \frac{u(x)}{v(x)}</math>.
+Nach der Quotientenregel gilt:
+<math>g'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}</math>.
+Berechnen wir die Ableitungen:
+<math>u'(x) = 2x</math> und <math>v'(x) = 2</math>.
+Einsetzen ergibt:
+<math>g'(x) = \frac{2x \cdot 2x - x^2 \cdot 2}{(2x)^2} = \frac{4x^2 - 2x^2}{4x^2} = \frac{2x^2}{4x^2} = \frac{1}{2}</math>.