Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
| Zeile 9: | Zeile 9: | ||
<math> f'(t)=\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^{t+h}-a^{t}}{h}=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^t \cdot a^h-a^{t}}{h}=(\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}) a^t = c \cdot a^t </math> mit <math>c=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}</math>. | <math> f'(t)=\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^{t+h}-a^{t}}{h}=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^t \cdot a^h-a^{t}}{h}=(\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}) a^t = c \cdot a^t </math> mit <math>c=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}</math>. | ||
Die Ableitung der Exponentialfunktion ist also wieder eine Exponentialfunktion mit der Basis | Die Ableitung der Exponentialfunktion ist also wieder eine Exponentialfunktion mit der Basis <math>a</math> und dem y-Achsenabschnitt <math>c=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}</math>. Mit Hilfe der Taylor-Reihe lässt sich der Grenzwert ermitteln: <math>\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=ln(a)</math> | ||
Also gilt <math>f'(x)=ln(a)a^x</math>. | Also gilt <math>f'(x)=ln(a)a^x</math>. | ||