Stetige Funktion: Unterschied zwischen den Versionen
Keine Bearbeitungszusammenfassung |
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\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
springt an der Stelle <math>x=1</math> vom Funktionswert 1 auf den Funktionswert 2. Am Graph erkennen wir bereits, dass <math>f</math> | springt an der Stelle <math>x=1</math> vom Funktionswert 1 auf den Funktionswert 2. Am Graph erkennen wir bereits, dass <math>f</math> in <math>x_0=1</math> unstetig ist. | ||
====Kontraposition==== | ====Kontraposition==== | ||
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Wir wählen nun ein <math>\epsilon < 1</math>. Wir wählen <math>x = 1 + \frac{\delta}{2}</math> und erhalten wir <math>|f(x) - f(1)| = |1 + \frac{\delta}{2} + 1 - 1| =1 + \frac{\delta}{2}</math>, was größer als <math>\epsilon</math> ist, da <math>\epsilon < 1</math>. | Wir wählen nun ein <math>\epsilon < 1</math>. Wir wählen <math>x = 1 + \frac{\delta}{2}</math> und erhalten wir <math>|f(x) - f(1)| = |1 + \frac{\delta}{2} + 1 - 1| =1 + \frac{\delta}{2}</math>, was größer als <math>\epsilon</math> ist, da <math>\epsilon < 1</math>. | ||
Das bedeutet, dass es kein <math>\delta > 0</math> geben kann, das <math>|f(x) - f(1)| < \epsilon</math> sicherstellt, wenn <math>x > 1</math> | Das bedeutet, dass es kein <math>\delta > 0</math> geben kann, das <math>|f(x) - f(1)| < \epsilon</math> sicherstellt, wenn <math>x > 1</math>. | ||
====Fallunterscheidung==== | ====Fallunterscheidung==== | ||