Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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==Definition==

Eine [[Funktion]] der Form <math>f(x)=c \cdot a^x</math> mit <math>c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a'''.

Eine [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=c \cdot a^x</math> mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a'''. <math>c</math> ist der '''y-Achsenabschnitt'''.

<math>c</math> ist der ~~'''~~y-Achsenabschnitt~~'''~~. ~~Der '''Schnittpunkt mit~~ der y-~~Achse~~'~~'' ist~~ <math>~~S_y~~(0|c)</math>. Gilt <math>a>1</math> und <math>c>0</math> ~~steigt~~ der Graph [[Monotone_Funktion#Definition|streng monoton]] an. Wir nennen das '''~~positives~~ Wachstum'''. Gilt <math>0<a<1</math> und <math>c>0</math> ~~fällt~~ der Graph [[Monotone_Funktion#Definition|streng monoton]]. ~~Wir nennen das~~ '''~~negatives Wachstum~~'''.

==Ableitung==

Für die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion zur Basis <math>a</math> der Form <math>f(x)=a^x</math> gilt:

<math> f'(t)=\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^{t+h}-a^{t}}{h}=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^t \cdot a^h-a^{t}}{h}=(\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}) a^t = c \cdot a^t </math> mit <math>c=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}</math>.

Die Ableitung der Exponentialfunktion ist also wieder eine Exponentialfunktion mit der Basis <math>a</math> und dem y-Achsenabschnitt <math>c=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}</math>. Mit Hilfe der Taylor-Reihe lässt sich der Grenzwert ermitteln: <math>\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=ln(a)</math>

Also gilt <math>f'(x)=ln(a)a^x</math>.

==Verlauf der Graphen von Exponentialfunktion==

[[Datei:ExponentialfunktionVerlauf.png|mini|Graphen der Exponentialfunktionen <math>g_1(x)=2\cdot 3^x</math>, <math>g_2(x)=2\cdot 0,3^x</math>, <math>g_3(x)=-2\cdot 3^x</math>, <math>g_4(x)=-2\cdot 0,3^x</math>]]

Gegeben sei eine allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a.

*Gilt <math>c>0</math> und <math>a>1</math> ist der Graph [[Monotone_Funktion#Definition|streng monoton steigend]] und eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskurve]]. Wir nennen das '''positives Wachstum'''.

*Gilt <math>c>0</math> und <math>0<a<1</math> ist der Graph [[Monotone_Funktion#Definition|streng monoton fallend]] und eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskurve]]. Wir nennen das '''negatives Wachstum'''.

*Gilt <math>c<0</math> und <math>0<a<1</math> ist der Graph [[Monotone_Funktion#Definition|streng monoton steigend]] und eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskurve]].

*Gilt <math>c<0</math> und <math>a>1</math> ist der Graph [[Monotone_Funktion#Definition|streng monoton fallend]] und eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskurve]].

==Spiegelbildliche Exponentialfunktionen==

Die Exponentialfunktionen <math>f_1(x)=c \cdot a^x</math> und <math>f_2(x)=c \cdot (\frac{1}{a})^x</math> mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> sind spiegelbildlich bezüglich der y-Achse zueinander.

==Erweiterte Form==

Eine [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=c \cdot a^x+d</math> mit <math>a,~c,~d \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''erweiterte Exponentialfunktion'''. Die Gerade <math>y=d</math> bezeichnen wir als '''[[Asymptote]]'''. Der '''y-Achsenabschnitt''' ist <math>c+d</math>.

==Nullstellen==

Eine allgemeine Exponentialfunktion zur Basis <math>a</math> der Form <math>f(x)=c \cdot a^x</math> mit <math>c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> hat keine Nullstellen.

Eine allgemeine Exponentialfunktion zur Basis <math>a</math> der Form <math>f(x)=c \cdot a^x</math> mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> hat keine [[Nullstelle|Nullstellen]].

Die Nullstelle der erweiterten Form existiert, falls <math>\frac{d}{c}<0</math> sowie <math>a>0</math> gilt und wird durch

~~==Spiegelbildlich==~~

~~Die Exponentialfunktionen~~ <math>f(x)=c ~~\cdot a^x~~</math> ~~und~~ <math>f(x)=~~c \cdot~~ (\frac{1}{a})~~^x</math> mit <math>c~~ \in \~~mathbb~~{R},~a ~~\geq 0,~a \neq 1~~</math> ~~sind spiegelbildlich bezüglich der y-Achse zueinander~~.

ermittelt.

==Beispiele==

===Exponentialfunktionen mit verschiedenen Basen===

[[Datei:ExponentialfunktionBasen.png|mini|Graphen der Exponentialfunktionen mit verschiedenen Basen]]

[[Datei:ExponentialfunktionBasen.png|mini|Graphen der Exponentialfunktionen <math>f_1(x)=4^x</math>, <math>f_2(x)=6^x</math>, <math>f_3(x)=0,7^x</math>, <math>f_4(x)=0,3^x</math> mit verschiedenen Basen]]

Wir betrachten die Exponentialfunktionen <math>f_1(x)=4^x,~f_2(x)=6^x,~f_3(x)=0,7^x,~f_4(x)=0,3^x</math>. Die Basis für die Funktion <math>f_1</math> ist <math>a=4</math>, für jede der Funktionen gilt <math>c=1</math>.

Der y-Achsenabschnitt der Funktion <math>f_1</math> wird durch <math>f_1(0)=4^0=1</math> berechnet. Der Schnittpunkt mit der y-Achse beträgt <math>S_y(0|1)</math>.

Die Graphen der Funktionen <math>f_1</math> und <math>f_2</math> zeigen positives Wachstum. Die Graphen der Funktionen <math>f_3</math> und <math>f_4</math> zeigen negatives Wachstum.

===Exponentialfunktionen mit verschiedenen Faktoren===

[[Datei:ExponentialfunktionFaktoren.png|mini|Graphen der Exponentialfunktionen <math>f_5(x)=5 \cdot 3^x</math>, <math>f_6(x)=0,2\cdot 3^x</math>, <math>f_7(x)=(-3)\cdot 3^x,</math> <math>f_8(x)=(-4)\cdot 3^x</math> mit verschienden Faktoren]]

Wir betrachten die Exponentialfunktionen <math>f_5(x)=5 \cdot 3^x,~f_6(x)=0,2\cdot 3^x,~f_7(x)=(-3)\cdot 3^x,~f_8(x)=(-4)\cdot 3^x</math>. Für die y-Achsenabschnitte gilt <math>f_5(0)=5 \cdot 3^0=5,~f_6(0)=0,2\cdot 3^0=0,2,~f_7(x)=(-3)\cdot 3^0=-3,~f_8(x)=(-4)\cdot 3^0=-4</math>. Die Schnittpunkte mit der y-Achse lassen sich in den Graphen ablesen. Beispielsweise ist für <math>f_5</math> der Schnittpunkt mit der y-Achse <math>S_y(0|5)</math>.

Die Nullstelle von <math>f_5</math> wird durch

~~Die Nullstelle von~~ <math>~~f_1~~</math> ~~wird durch~~

berechnet. Es <math>5 \cdot 3^x \neq 0</math> für jedes <math>x \in \mathbb{R}</math>. Daher hat <math>f_5</math> keine Nullstellen.

~~berechnet~~. Es <math>4^x ~~\neq 0~~</math> ~~für jedes~~ <math>x \~~in \mathbb~~{R}</math>~~. Daher hat~~ <math>~~f_1~~</math> ~~keine Nullstellen~~.

===Spiegelbildliche Exponentialfunktionen===

[[Datei:ExponentialfunktionSpiegelbildlich.png|mini|Graphen der Funktionen <math>f_9(x)=2^x</math> und <math>f_{10}(x)=(\frac{1}{2})^x</math>]]

Die Graphen der Funktionen <math>f_9(x)=2^x</math> und <math>f_{10}(x)=(\frac{1}{2})^x</math> sind spiegelbildlich bezüglich der y-Achse.

===~~Exponentialfunktionen mit verschiedenen Faktoren~~===

===Beschränkter Wachstumsprozess===

[[Datei:~~ExponentialfunktionFaktoren~~.png|mini]]

[[Datei:ExponentialfunktionBeschränkterWachstumsprozess.png|mini|Graph der Exponentialfunktion <math>h(t)=(-190)\cdot 0,7^t+210</math>]]

Die [[~~quadratische~~ Funktion]] <math>f(x)=-2x^2+3x+5</math> ist ~~eine ganzrationale~~ Funktion ~~mit Grad~~ <math>2</math> und ~~den Koeffizienten~~ <math>-2,3,5</math>.

Wir backen ein schmackhaftes Zwiebelbrot bei 210 °C und messen die Temperatur des Brotes im Ofen. Die Raumtemperatur beträgt 20 °C. Wir modellieren im Folgenden den 45 minütigen Backprozess durch eine erweiterte Exponentialfunktion der Form <math>h(t)=c \cdot a^t+d</math>. Dabei ist <math>t</math> in Minuten und <math>h(t)</math> in °C angegeben. Aufgrund der Backtemperatur von 210 °C, kann das Brot nicht wärmer als 210 °C werden, daher gilt <math>d=210</math>.

Da der Backprozess 45 Minuten andauert, ist der [[Funktion#Definitions-_und_Wertebereich|Definitionsbereich]] <math>\mathbb{D}_h=[0;45]</math>. Temperaturmessungen des Zwiebelbrotes liefern, dass zum Zeitpunkt <math>t=0</math> die Temperatur 20 °C und zum Zeitpunkt <math>t=1</math> die Temperatur 77 °C beträgt. Damit gilt

Die erweiterte Exponentialfunktion hat also die Form <math>h(t)=(-190) \cdot a^t+210</math>. Wir müssen die Basis <math>a</math> bestimmen:

Die erweiterte Exponentialfunktion <math>h(t)=(-190) \cdot 0,7^t+210</math> modelliert damit die Abkühlung des Zwiebelbrotes. <math>y=210</math> ist die Asymptote, da für alle <math>t \in \mathbb{D}_h</math> gilt, dass <math>-190\cdot 0,7^t<0</math> ist. Der Graph von <math>h</math> nähert sich also der Geraden <math>y=20</math> beliebig nah an, berührt diese aber nie. Außerdem ist der Graph von <math>h</math> streng monoton steigend und eine Rechtskurve, daher beschreibt <math>h</math> einen '''beschränkten Wachstumsprozess'''.

===Beschränkter Abnahmeprozess===

[[Datei:ExponentialfunktionBeschränkterAbnahmeprozess.png|mini|Graph der Exponentialfunktion <math>f(t)=180\cdot 0,8^t+20</math>]]

Wir nehmen das fertig gebackene Brot aus dem Ofen. Die Raumtemperatur beträgt 20 °C. Wir modellieren im Folgenden den 30-minütigen Abkühlungsprozess durch eine erweiterte Exponentialfunktion der Form <math>f(t)=c \cdot a^t+d</math>. Dabei ist <math>t</math> in Minuten und <math>f(t)</math> in °C angegeben. Aufgrund der Raumtemperatur, kann das Brot nicht kälter als 20 °C werden, daher gilt <math>d=20</math>.

Da der Abkühlungsprozess 30 Minuten andauert, ist der [[Funktion#Definitions-_und_Wertebereich|Definitionsbereich]] <math>\mathbb{D}_f=[0;30]</math>. Temperaturmessungen des Zwiebelbrotes liefern, dass zum Zeitpunkt <math>t=0</math> die Temperatur 200 °C und zum Zeitpunkt <math>t=1</math> die Temperatur 164 °C beträgt. Damit gilt

Die erweiterte Exponentialfunktion hat also die Form <math>f(t)=180 \cdot a^t+20</math>. Wir müssen die Basis <math>a</math> bestimmen:

Die erweiterte Exponentialfunktion <math>f(t)=180\cdot 0,8^t+20</math> modelliert damit die Abkühlung des Zwiebelbrotes. <math>y=20</math> ist die Asymptote, da für alle <math>t \in \mathbb{D}_f</math> gilt, dass <math>180\cdot 0,8^t>0</math> ist. Der Graph von <math>f</math> nähert sich also der Geraden <math>y=20</math> beliebig nah an, berührt diese aber nie. Außerdem ist der Graph von <math>f</math> streng monoton fallend und eine Linkskurve, daher beschreibt <math>f</math> einen '''beschränkten Abnahmeprozess'''.

===~~Ganzrationale Funktion 3~~. ~~Grades~~===

~~<math>f(x)~~=~~4x^3~~-~~24x^2+36</math> ist eine ganzrationale Funktion, da der Funktionsterm, <math>4x^3~~-~~24x^2+36</math~~>~~, ein Polynom ist. Der Grad von <math>f~~</~~math~~> ~~ist <math>3~~</~~math~~>~~. Die Koeffizienten sind <math>3, -2, 0, 36</math>. Der Graph sieht wie folgt aus:~~

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

[[Kategorie:~~FHR_WuV_Mathe~~]]

[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

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 ==Definition==
-Eine [[Funktion]] der Form <math>f(x)=c \cdot a^x</math> mit <math>c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a'''.
+Eine [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=c \cdot a^x</math> mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a'''. <math>c</math> ist der '''y-Achsenabschnitt'''.
-<math>c</math> ist der '''y-Achsenabschnitt'''. Der '''Schnittpunkt mit der y-Achse''' ist <math>S_y(0|c)</math>. Gilt <math>a>1</math> und <math>c>0</math> steigt der Graph [[Monotone_Funktion#Definition|streng monoton]] an. Wir nennen das '''positives Wachstum'''. Gilt <math>0<a<1</math> und <math>c>0</math> fällt der Graph [[Monotone_Funktion#Definition|streng monoton]]. Wir nennen das '''negatives Wachstum'''.
+==Ableitung==
+Für die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion zur Basis <math>a</math> der Form <math>f(x)=a^x</math> gilt:
+<math> f'(t)=\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^{t+h}-a^{t}}{h}=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^t \cdot a^h-a^{t}}{h}=(\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}) a^t = c \cdot a^t </math> mit <math>c=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}</math>.
+Die Ableitung der Exponentialfunktion ist also wieder eine Exponentialfunktion mit der Basis <math>a</math> und dem y-Achsenabschnitt <math>c=\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}</math>. Mit Hilfe der Taylor-Reihe lässt sich der Grenzwert ermitteln: <math>\lim \limits_{h \to 0} \frac{a^h-1}{h}=ln(a)</math>
+Also gilt <math>f'(x)=ln(a)a^x</math>.
+==Verlauf der Graphen von Exponentialfunktion==
+[[Datei:ExponentialfunktionVerlauf.png|mini|Graphen der Exponentialfunktionen <math>g_1(x)=2\cdot 3^x</math>, <math>g_2(x)=2\cdot 0,3^x</math>, <math>g_3(x)=-2\cdot 3^x</math>, <math>g_4(x)=-2\cdot 0,3^x</math>]]
+Gegeben sei eine allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a.
+*Gilt <math>c>0</math> und <math>a>1</math> ist der Graph [[Monotone_Funktion#Definition|streng monoton steigend]] und eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskurve]]. Wir nennen das '''positives Wachstum'''.
+*Gilt <math>c>0</math> und <math>0<a<1</math> ist der Graph [[Monotone_Funktion#Definition|streng monoton fallend]] und eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Linkskurve]]. Wir nennen das '''negatives Wachstum'''.
+*Gilt <math>c<0</math> und <math>0<a<1</math> ist der Graph [[Monotone_Funktion#Definition|streng monoton steigend]] und eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskurve]].
+*Gilt <math>c<0</math> und <math>a>1</math> ist der Graph [[Monotone_Funktion#Definition|streng monoton fallend]] und eine [[Monotone_Funktion#Kr%C3%BCmmung_einer_Funktion|Rechtskurve]].
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/o_WQeeVMvt4?si=oAFcTf0FZjIVCsnY" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html>
+==Spiegelbildliche Exponentialfunktionen==
+Die Exponentialfunktionen <math>f_1(x)=c \cdot a^x</math> und <math>f_2(x)=c \cdot (\frac{1}{a})^x</math> mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> sind spiegelbildlich bezüglich der y-Achse zueinander.
+==Erweiterte Form==
+Eine [[Funktion]] <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)=c \cdot a^x+d</math> mit <math>a,~c,~d \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> heißt '''erweiterte Exponentialfunktion'''. Die Gerade <math>y=d</math> bezeichnen wir als '''[[Asymptote]]'''. Der '''y-Achsenabschnitt''' ist <math>c+d</math>.
 ==Nullstellen==
-Eine allgemeine Exponentialfunktion zur Basis <math>a</math> der Form <math>f(x)=c \cdot a^x</math> mit <math>c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> hat keine Nullstellen.
+Eine allgemeine Exponentialfunktion zur Basis <math>a</math> der Form <math>f(x)=c \cdot a^x</math> mit <math>a,~c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> hat keine [[Nullstelle|Nullstellen]].
+Die Nullstelle der erweiterten Form existiert, falls <math>\frac{d}{c}<0</math> sowie <math>a>0</math> gilt und wird durch
+<math>f(x)=0</math>
+<math>c \cdot a^x+d=0</math>
+<math>c \cdot a^x=-d</math>
-==Spiegelbildlich==
+<math>a^x=-\frac{d}{c}</math>
-Die Exponentialfunktionen <math>f(x)=c \cdot a^x</math> und <math>f(x)=c \cdot (\frac{1}{a})^x</math> mit <math>c \in \mathbb{R},~a \geq 0,~a \neq 1</math> sind spiegelbildlich bezüglich der y-Achse zueinander.
+<math>x=log_a(-\frac{d}{c})=\frac{log(-\frac{d}{c})}{log(a)}</math>
+ermittelt.
 ==Beispiele==
 ===Exponentialfunktionen mit verschiedenen Basen===
-[[Datei:ExponentialfunktionBasen.png|mini|Graphen der Exponentialfunktionen mit verschiedenen Basen]]
+[[Datei:ExponentialfunktionBasen.png|mini|Graphen der Exponentialfunktionen <math>f_1(x)=4^x</math>, <math>f_2(x)=6^x</math>, <math>f_3(x)=0,7^x</math>, <math>f_4(x)=0,3^x</math> mit verschiedenen Basen]]
 Wir betrachten die Exponentialfunktionen <math>f_1(x)=4^x,~f_2(x)=6^x,~f_3(x)=0,7^x,~f_4(x)=0,3^x</math>. Die Basis für die Funktion <math>f_1</math> ist <math>a=4</math>, für jede der Funktionen gilt <math>c=1</math>.
 Der y-Achsenabschnitt der Funktion <math>f_1</math> wird durch <math>f_1(0)=4^0=1</math> berechnet. Der Schnittpunkt mit der y-Achse beträgt <math>S_y(0|1)</math>.
 Die Graphen der Funktionen <math>f_1</math> und <math>f_2</math> zeigen positives Wachstum. Die Graphen der Funktionen <math>f_3</math> und <math>f_4</math> zeigen negatives Wachstum.
+===Exponentialfunktionen mit verschiedenen Faktoren===
+[[Datei:ExponentialfunktionFaktoren.png|mini|Graphen der Exponentialfunktionen <math>f_5(x)=5 \cdot 3^x</math>, <math>f_6(x)=0,2\cdot 3^x</math>, <math>f_7(x)=(-3)\cdot 3^x,</math> <math>f_8(x)=(-4)\cdot 3^x</math> mit verschienden Faktoren]]
+Wir betrachten die Exponentialfunktionen <math>f_5(x)=5 \cdot 3^x,~f_6(x)=0,2\cdot 3^x,~f_7(x)=(-3)\cdot 3^x,~f_8(x)=(-4)\cdot 3^x</math>. Für die y-Achsenabschnitte gilt <math>f_5(0)=5 \cdot 3^0=5,~f_6(0)=0,2\cdot 3^0=0,2,~f_7(x)=(-3)\cdot 3^0=-3,~f_8(x)=(-4)\cdot 3^0=-4</math>. Die Schnittpunkte mit der y-Achse lassen sich in den Graphen ablesen. Beispielsweise ist für <math>f_5</math> der Schnittpunkt mit der y-Achse <math>S_y(0|5)</math>.
+Die Nullstelle von <math>f_5</math> wird durch
-Die Nullstelle von <math>f_1</math> wird durch
+<math>f_5(x)=0</math>
-<math>f_1(x)=0</math>
+<math>5 \cdot 3^x=0</math>
-<math>4^x=0</math>
+berechnet. Es <math>5 \cdot 3^x \neq 0</math> für jedes <math>x \in \mathbb{R}</math>. Daher hat <math>f_5</math> keine Nullstellen.
-berechnet. Es <math>4^x \neq 0</math> für jedes <math>x \in \mathbb{R}</math>. Daher hat <math>f_1</math> keine Nullstellen.
+===Spiegelbildliche Exponentialfunktionen===
+[[Datei:ExponentialfunktionSpiegelbildlich.png|mini|Graphen der Funktionen <math>f_9(x)=2^x</math> und <math>f_{10}(x)=(\frac{1}{2})^x</math>]]
+Die Graphen der Funktionen <math>f_9(x)=2^x</math> und <math>f_{10}(x)=(\frac{1}{2})^x</math> sind spiegelbildlich bezüglich der y-Achse.
-===Exponentialfunktionen mit verschiedenen Faktoren===
+===Beschränkter Wachstumsprozess===
-[[Datei:ExponentialfunktionFaktoren.png|mini]]
+[[Datei:ExponentialfunktionBeschränkterWachstumsprozess.png|mini|Graph der Exponentialfunktion <math>h(t)=(-190)\cdot 0,7^t+210</math>]]
-Die [[quadratische Funktion]] <math>f(x)=-2x^2+3x+5</math> ist eine ganzrationale Funktion mit Grad <math>2</math> und den Koeffizienten <math>-2,3,5</math>.
+Wir backen ein schmackhaftes Zwiebelbrot bei 210 °C und messen die Temperatur des Brotes im Ofen. Die Raumtemperatur beträgt 20 °C. Wir modellieren im Folgenden den 45 minütigen Backprozess durch eine erweiterte Exponentialfunktion der Form <math>h(t)=c \cdot a^t+d</math>. Dabei ist <math>t</math> in Minuten und <math>h(t)</math> in °C angegeben. Aufgrund der Backtemperatur von 210 °C, kann das Brot nicht wärmer als 210 °C werden, daher gilt <math>d=210</math>.
+Da der Backprozess 45 Minuten andauert, ist der [[Funktion#Definitions-_und_Wertebereich|Definitionsbereich]] <math>\mathbb{D}_h=[0;45]</math>. Temperaturmessungen des Zwiebelbrotes liefern, dass zum Zeitpunkt <math>t=0</math> die Temperatur 20 °C und zum Zeitpunkt <math>t=1</math> die Temperatur 77  °C beträgt. Damit gilt
+<math>h(0)=c\cdot a^0+210</math>
+<math>20=c+210</math>
+<math>-190=c</math>
+Die erweiterte Exponentialfunktion hat also die Form <math>h(t)=(-190) \cdot a^t+210</math>. Wir müssen die Basis <math>a</math> bestimmen:
+<math>h(1)=(-190)\cdot a^1+210</math>
+<math>77=(-190) \cdot a +210</math>
+<math>-133=(-190) \cdot a</math>
+<math>0,7=a</math>
+Die erweiterte Exponentialfunktion <math>h(t)=(-190) \cdot 0,7^t+210</math> modelliert damit die Abkühlung des Zwiebelbrotes. <math>y=210</math> ist die Asymptote, da für alle <math>t \in \mathbb{D}_h</math> gilt, dass <math>-190\cdot 0,7^t<0</math> ist. Der Graph von <math>h</math> nähert sich also der Geraden <math>y=20</math> beliebig nah an, berührt diese aber nie. Außerdem ist der Graph von <math>h</math> streng monoton steigend und eine Rechtskurve, daher beschreibt <math>h</math> einen '''beschränkten Wachstumsprozess'''.
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/tApWXGETVRs?si=abRtG5T_-F1kpnnZ" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html>
+===Beschränkter Abnahmeprozess===
+[[Datei:ExponentialfunktionBeschränkterAbnahmeprozess.png|mini|Graph der Exponentialfunktion <math>f(t)=180\cdot 0,8^t+20</math>]]
+Wir nehmen das fertig gebackene Brot aus dem Ofen. Die Raumtemperatur beträgt 20 °C. Wir modellieren im Folgenden den 30-minütigen Abkühlungsprozess durch eine erweiterte Exponentialfunktion der Form <math>f(t)=c \cdot a^t+d</math>. Dabei ist <math>t</math> in Minuten und <math>f(t)</math> in °C angegeben. Aufgrund der Raumtemperatur, kann das Brot nicht kälter als 20 °C werden, daher gilt <math>d=20</math>.
+Da der Abkühlungsprozess 30 Minuten andauert, ist der [[Funktion#Definitions-_und_Wertebereich|Definitionsbereich]] <math>\mathbb{D}_f=[0;30]</math>. Temperaturmessungen des Zwiebelbrotes liefern, dass zum Zeitpunkt <math>t=0</math> die Temperatur 200 °C und zum Zeitpunkt <math>t=1</math> die Temperatur 164  °C beträgt. Damit gilt
+<math>f(0)=c\cdot a^0+20</math>
+<math>200=c+20</math>
+<math>180=c</math>
+Die erweiterte Exponentialfunktion hat also die Form <math>f(t)=180 \cdot a^t+20</math>. Wir müssen die Basis <math>a</math> bestimmen:
+<math>f(1)=180\cdot a^1+20</math>
+<math>164=180 \cdot a +20</math>
+<math>144=180 \cdot a</math>
+<math>0,8=a</math>
+Die erweiterte Exponentialfunktion <math>f(t)=180\cdot 0,8^t+20</math> modelliert damit die Abkühlung des Zwiebelbrotes. <math>y=20</math> ist die Asymptote, da für alle <math>t \in \mathbb{D}_f</math> gilt, dass <math>180\cdot 0,8^t>0</math> ist. Der Graph von <math>f</math> nähert sich also der Geraden <math>y=20</math> beliebig nah an, berührt diese aber nie. Außerdem ist der Graph von <math>f</math> streng monoton fallend und eine Linkskurve, daher beschreibt <math>f</math> einen '''beschränkten Abnahmeprozess'''.
-===Ganzrationale Funktion 3. Grades===
+<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/L4AfwtEBp_M?si=YTsMMnpdZki8O_33" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" referrerpolicy="strict-origin-when-cross-origin" allowfullscreen></iframe></html>
-<math>f(x)=4x^3-24x^2+36</math> ist eine ganzrationale Funktion, da der Funktionsterm, <math>4x^3-24x^2+36</math>, ein Polynom ist. Der Grad von <math>f</math> ist <math>3</math>. Die Koeffizienten sind <math>3, -2, 0, 36</math>. Der Graph sieht wie folgt aus:
 [[Kategorie:Mathematische Funktion]]
-[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]
+[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]