Arithmetisches Mittel: Unterschied zwischen den Versionen

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Wurden [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~|Merkmalsausprägungen]] zu einem [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~|quantitativen Merkmal]] erhoben, dann ist die Summe ~~der~~ Merkmalsausprägungen geteilt durch den Erhebungsumfang das arithmetische Mittel ~~oder~~ umgangssprachlich ~~der~~ Durchschnitt.

Das arithmetische Mittel gibt einen typischen oder durchschnittlichen Wert in einem Datensatz an. Es ist ein Maß für das Zentrum der Datenverteilung. Dies ermöglicht es, einen schnellen Überblick über das durchschnittliche Ausprägungsniveau der untersuchten Variablen zu erhalten.

Wurden [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|Merkmalsausprägungen]] zu einem [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|quantitativen Merkmal]] erhoben, dann ist die Summe aller Merkmalsausprägungen geteilt durch den Erhebungsumfang das arithmetische Mittel, umgangssprachlich auch als Durchschnitt bezeichnet.

==Definition==

Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1,x_2,~~...~~,x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> ~~gegeben, dann heißt~~ <math>\bar{x}=\frac{x_1+x_2+~~...~~+x_n}{n}</math> '''arithmetisches Mittel'''.

Gegeben sei eine Zahlenfolge <math>x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{R}</math> mit dem Erhebungsumfang <math>n \in \mathbb{N}</math>. Dann wird <math>\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}</math> als '''arithmetisches Mittel''' bezeichnet.

==Arithmetisches Mittel und Häufigkeiten==

Es ~~sei~~ <math>~~a_i~~</math> die [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Definition~~|~~absolute Häufigkeit~~]] ~~der~~ [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~|~~Merkmalsausprägung~~]] ~~<math>x_i</math> eines~~ [[~~H%C3%A4ufigkeit~~#~~Statistische_Begriffe~~|~~quantitativen Merkmals~~]] ~~mit~~ <math>n,~~a_i~~\in\mathbb{N}</math>, <math>~~i \in \{1,...,~~n\}</math> ~~und~~ <math>~~x_i~~ \~~in \mathbb~~{R}~~</math>. Der [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|Erhebungsumfang]] ist <math>~~n</math>. Der Wert <math>\bar{x}=\frac{a_1\cdot x_1+a_2\cdot x_2+~~...~~+~~a_n~~\cdot ~~x_n~~}{n}=\frac{a_1}{n}\cdot x_1+\frac{a_2}{n}\cdot x_2+~~...~~+\frac{~~a_n~~}{n}\cdot ~~x_n~~</math> heißt '''~~arithmetische~~ Mittel'''. Dabei ist <math>\frac{a_i}{n}</math> die relative Häufigkeit der Merkmalsausprägung <math>x_i</math>.

Es seien <math>x_1, x_2, \dots, x_k</math> die verschiedenen [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|Merkmalsausprägungen]] eines [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|quantitativen Merkmals]] mit den jeweiligen [[Häufigkeit#Definition|absoluten Häufigkeiten]] <math>a_1, a_2, \dots, a_k \in \mathbb{N}</math>. Der [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|Erhebungsumfang]] sei <math>n</math>, wobei <math>\sum_{i=1}^{k} a_i = n</math> gilt. Der Wert

heißt '''arithmetisches Mittel'''. Dabei ist <math>\frac{a_i}{n}</math> die relative Häufigkeit der Merkmalsausprägung <math>x_i</math>.

==Beispiele==

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#Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183; 172; 163; 154; 158; 166; 177; 188; 190.

# Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183, 172, 163, 154, 158, 166, 177, 188 und 190.

#Der Erhebungsumfang beträgt 9, da die Körpergröße von 9 Schülern erhoben wurde.

# Der Erhebungsumfang beträgt 9, da die Körpergröße von 9 Schülern erhoben wurde.

#Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x}=\frac{183+ 172+ 163+ 154+ 158+ 166+ 177+ 188+ 190}{9}\~~approx172~~,33</math>

# Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x} = \frac{183 + 172 + 163 + 154 + 158 + 166 + 177 + 188 + 190}{9} \approx 172{,}33</math>.

Die Schüler in der Klasse sind durchschnittlich 172,33 cm groß.

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#Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183; 172; 163; 154; 158; 166; 177; 188; 190~~; 154~~.

# Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183, 172, 163, 154, 158, 166, 177, 188 und 190.

#Der Erhebungsumfang beträgt 10, da die Körpergröße von 10 Schülern erhoben wurde.

# Der Erhebungsumfang beträgt 10, da die Körpergröße von 10 Schülern erhoben wurde.

#Die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung 154 ist 2, da zwei Schüler 154 cm groß sind.

# Die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung 154 ist 2, da zwei Schüler 154 cm groß sind.

#Die absoluten Häufigkeiten der restlichen Merkmalsausprägungen sind 1, da jede andere Körpergröße nur genau einmal vorkommt.

# Die absoluten Häufigkeiten der restlichen Merkmalsausprägungen sind 1, da jede andere Körpergröße nur genau einmal vorkommt.

#Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x}=\frac{183+ 172+ 163+ 2 \cdot 154+ 158+ 166+ 177+ 188+ 190}{10} = 170,5</math>

# Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x} = \frac{183 + 172 + 163 + 2 \cdot 154 + 158 + 166 + 177 + 188 + 190}{10} = 170{,}5</math>.

Da ein kleiner Schüler hinzugekommen ist, sind die Schüler in der Klasse durchschnittlich nur noch 170,5 cm groß.

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[[Kategorie:Statistik]]

[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

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-Wurden [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|Merkmalsausprägungen]] zu einem [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|quantitativen Merkmal]] erhoben, dann ist die Summe der Merkmalsausprägungen geteilt durch den Erhebungsumfang das arithmetische Mittel oder umgangssprachlich der Durchschnitt.
+Das arithmetische Mittel gibt einen typischen oder durchschnittlichen Wert in einem Datensatz an. Es ist ein Maß für das Zentrum der Datenverteilung. Dies ermöglicht es, einen schnellen Überblick über das durchschnittliche Ausprägungsniveau der untersuchten Variablen zu erhalten.
+Wurden [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|Merkmalsausprägungen]] zu einem [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|quantitativen Merkmal]] erhoben, dann ist die Summe aller Merkmalsausprägungen geteilt durch den Erhebungsumfang das arithmetische Mittel, umgangssprachlich auch als Durchschnitt bezeichnet.
 ==Definition==
-Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> gegeben, dann heißt <math>\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}</math> '''arithmetisches Mittel'''.
+Gegeben sei eine Zahlenfolge <math>x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{R}</math> mit dem Erhebungsumfang <math>n \in \mathbb{N}</math>. Dann wird <math>\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}</math> als '''arithmetisches Mittel''' bezeichnet.
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 ==Arithmetisches Mittel und Häufigkeiten==
-Es sei <math>a_i</math> die [[H%C3%A4ufigkeit#Definition|absolute Häufigkeit]] der [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|Merkmalsausprägung]] <math>x_i</math> eines [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|quantitativen Merkmals]] mit <math>n,a_i\in\mathbb{N}</math>, <math>i \in \{1,...,n\}</math> und <math>x_i \in \mathbb{R}</math>. Der [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|Erhebungsumfang]] ist <math>n</math>. Der Wert <math>\bar{x}=\frac{a_1\cdot x_1+a_2\cdot x_2+...+a_n\cdot x_n}{n}=\frac{a_1}{n}\cdot x_1+\frac{a_2}{n}\cdot x_2+...+\frac{a_n}{n}\cdot x_n</math> heißt '''arithmetische Mittel'''. Dabei ist <math>\frac{a_i}{n}</math> die relative Häufigkeit der Merkmalsausprägung <math>x_i</math>.
+Es seien <math>x_1, x_2, \dots, x_k</math> die verschiedenen [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|Merkmalsausprägungen]] eines [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|quantitativen Merkmals]] mit den jeweiligen [[Häufigkeit#Definition|absoluten Häufigkeiten]] <math>a_1, a_2, \dots, a_k \in \mathbb{N}</math>. Der [[Häufigkeit#Statistische Begriffe|Erhebungsumfang]] sei <math>n</math>, wobei <math>\sum_{i=1}^{k} a_i = n</math> gilt. Der Wert
+<math>\bar{x} = \frac{a_1 \cdot x_1 + a_2 \cdot x_2 + \dots + a_k \cdot x_k}{n} = \frac{a_1}{n} \cdot x_1 + \frac{a_2}{n} \cdot x_2 + \dots + \frac{a_k}{n} \cdot x_k</math>
+heißt '''arithmetisches Mittel'''. Dabei ist <math>\frac{a_i}{n}</math> die relative Häufigkeit der Merkmalsausprägung <math>x_i</math>.
 ==Beispiele==
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-#Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183; 172; 163; 154; 158; 166; 177; 188; 190.
+# Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183, 172, 163, 154, 158, 166, 177, 188 und 190.
-#Der Erhebungsumfang beträgt 9, da die Körpergröße von 9 Schülern erhoben wurde.
+# Der Erhebungsumfang beträgt 9, da die Körpergröße von 9 Schülern erhoben wurde.
-#Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x}=\frac{183+ 172+ 163+ 154+ 158+ 166+ 177+ 188+ 190}{9}\approx172,33</math>
+# Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x} = \frac{183 + 172 + 163 + 154 + 158 + 166 + 177 + 188 + 190}{9} \approx 172{,}33</math>.
 Die Schüler in der Klasse sind durchschnittlich 172,33 cm groß.
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-#Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183; 172; 163; 154; 158; 166; 177; 188; 190; 154.
+# Die Merkmalsausprägungen des Merkmals Körpergröße in cm sind die Werte 183, 172, 163, 154, 158, 166, 177, 188 und 190.
-#Der Erhebungsumfang beträgt 10, da die Körpergröße von 10 Schülern erhoben wurde.
+# Der Erhebungsumfang beträgt 10, da die Körpergröße von 10 Schülern erhoben wurde.
-#Die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung 154 ist 2, da zwei Schüler 154 cm groß sind.
+# Die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung 154 ist 2, da zwei Schüler 154 cm groß sind.
-#Die absoluten Häufigkeiten der restlichen Merkmalsausprägungen sind 1, da jede andere Körpergröße nur genau einmal vorkommt.
+# Die absoluten Häufigkeiten der restlichen Merkmalsausprägungen sind 1, da jede andere Körpergröße nur genau einmal vorkommt.
-#Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x}=\frac{183+ 172+ 163+ 2 \cdot 154+ 158+ 166+ 177+ 188+ 190}{10} = 170,5</math>
+# Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x} = \frac{183 + 172 + 163 + 2 \cdot 154 + 158 + 166 + 177 + 188 + 190}{10} = 170{,}5</math>.
 Da ein kleiner Schüler hinzugekommen ist, sind die Schüler in der Klasse durchschnittlich nur noch 170,5 cm groß.
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 [[Kategorie:Statistik]]
 [[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]
+[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

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