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Binomialverteilung: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Seite wurde neu angelegt: „ ===Binomialverteilung=== Wir betrachten im Folgenden Definitionen zur Binomialverteilung. ====Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Experiment==== Ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ergebnissen, Erfolg und Misserfolg, heißt '''Bernoulli-Experiment'''. Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg wird mit p und die Wahrscheinlichkeit für Misserfolg mit <math>q=1-p</math> bezeichnet. Ein Zufallsexperiment, das aus <math>n\in\mathbb{N}</math> unabhängigen Durchf…“
 
 
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Die Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Bernoulli-Kette.


==Bernoulli-Experiment==
Ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ergebnissen, Erfolg und Misserfolg, heißt '''Bernoulli-Experiment'''. Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg wird mit <math>p</math> und die Wahrscheinlichkeit für Misserfolg mit <math>q=1-p</math> bezeichnet. Dabei gilt <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq  p \leq 1 </math>.


===Binomialverteilung===
==Bernoulli-Kette==
Wir betrachten im Folgenden Definitionen zur Binomialverteilung.
Ein Zufallsexperiment, das aus <math>n\in\mathbb{N}</math> unabhängigen Durchführungen desselben Bernoulli-Experiments besteht, heißt '''Bernoulli-Kette''' der Länge <math>n</math>.


<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/8B3qmuQk2xs?si=fK9vNYCvhEIa1tpH" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>


==Definition==
Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge <math>n \in \mathbb{N}</math>. Für jedes Bernoulli-Experiment ist die Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq  p \leq 1 </math>. Die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> gibt die Anzahl der Erfolge an. Dann beträgt die [[Wahrscheinlichkeit]] für genau <math>k</math> Erfolge <math>P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{(n-k)}</math> mit <math>0 \leq k \leq n</math> und <math>n\in\mathbb{N}</math>. <math>P:\mathbb{N}_0^{\leq n} \rightarrow \mathbb{R}</math> heißt dann '''Binomialverteilung''' mit den Parametern <math>n</math> und <math>p</math>. Für <math>P(X=k)</math> schreibt man auch <math>B_{n;p}(k)</math> und nennt <math>X</math> eine '''<math>B_{n;p}</math>-verteilte Zufallsvariable'''. <math>\binom{n}{k}</math> ist der [[Kombinatorik#Binomialkoeffizient|Binomialkoeffizient]].


====Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Experiment====
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/2IBw_ynpGSE?si=nFU0jEdSyV6YOcHC" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
Ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ergebnissen, Erfolg und Misserfolg, heißt '''Bernoulli-Experiment'''. Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg wird mit p und die Wahrscheinlichkeit für Misserfolg mit <math>q=1-p</math> bezeichnet. Ein Zufallsexperiment, das aus <math>n\in\mathbb{N}</math> unabhängigen Durchführungen desselben Bernoulli-Experiments besteht, heißt '''Bernoulli-Kette''' der Länge n.


====Binomialverteilung und -koeffizient====
==Eigenschaften==
Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge n mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Erfolge an.
===Erwartungswert===
Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer mit <math>0 \leq k \leq n</math> und <math>n\in\mathbb{N}</math>:
Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq  p \leq 1 </math>, dann ist <math>\mu=E(X)=n\cdot p</math> der [[Erwartungswert]] <math>X</math>.
<math>P\left(X=k\right)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot\left(1-p\right)^{\left(n-k\right)}</math>


P heißt dann '''Binomialverteilung''' mit den Parametern n und p. Für <math>P(X=k)</math> schreibt man auch <math>B_{n;p}\left(k\right)</math> und nennt X eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte Zufallsvariable. <math>\binom{n}{k}</math> heißt '''Binomialkoeffizient'''.
===Varianz===
Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq  p \leq 1 </math>, dann ist <math>\sigma^2=V(X)=n\cdot p\cdot(1-p)</math> die [[Varianz_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)|Varianz]] von <math>X</math>.


====Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung====
===Standardabweichung===
Die Binomialverteilung besitzt den '''Erwartungswert'''
Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq  p \leq 1 </math>, dann ist <math>\sigma=\sqrt{V\left(X\right)}=\sqrt{n\cdot p\cdot\left(1-p\right)}</math> die [[Standardabweichung_(Wahrscheinlichkeitsrechnung)|Standardabweichung]] von <math>X</math>.
<math>\mu=E\left(X\right)=n\cdot p</math>, die '''Varianz'''
<math>\sigma^2=V\left(X\right)=n\cdot p\cdot\left(1-p\right)</math> und die '''Standardabweichung'''
<math>\sigma=\sqrt{V\left(X\right)}=\sqrt{n\cdot p\cdot\left(1-p\right)}</math>.


<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/2IBw_ynpGSE?si=nFU0jEdSyV6YOcHC" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
===Histogramm===
Im folgenden Video wird das [[Histogramm]] der Binomialverteilung erläutert.


====Sigmaregeln binomialverteilte Zufallsvariablen====
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/Lc_R0vBSKHw?si=V72WfOUjhQRQlrN9" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
<math>P\left(\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma\right)\approx0,680</math> <math>1\sigma</math>-Regel


<math>P\left(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu+2\sigma\right)\approx0,955</math> <math>2\sigma</math>-Regel  
==Sigmaregeln==
Es sei <math>X</math> eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte Zufallsvariable mit <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>p</math> mit <math>p \in \mathbb{R}</math> und <math>0 \leq  p \leq 1 </math>, dann gilt
*<math>P\left(\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma\right)\approx0,680</math> <math>1\sigma</math>-Regel
*<math>P\left(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu+2\sigma\right)\approx0,955</math> <math>2\sigma</math>-Regel
*<math>P\left(\mu-3\sigma\leq X\leq\mu+3\sigma\right)\approx0,997</math> <math>3\sigma</math>-Regel mit <math>\sigma \geq 3</math>
*<math>P\left(\mu-1,64\sigma\leq X\leq\mu+1,64\sigma\right)\approx0,9</math> 90%-Regel
*<math>P\left(\mu-1,96\sigma\leq X\leq\mu+1,96\sigma\right)\approx0,95</math> 95%-Regel
*<math>P\left(\mu-2,58\sigma\leq X\leq\mu+2,58\sigma\right)\approx0,99</math> 99%-Regel


<math>P\left(\mu-3\sigma\leq X\leq\mu+3\sigma\right)\approx0,997</math> <math>3\sigma</math>-Regel mit <math>\sigma \geq 3</math>
==Regeln zum Umformen von Wahrscheinlichkeiten==
Um Wahrscheinlichkeiten für eine <math>B_{n;p}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] <math>X</math> mit dem [[Taschenrechner_verwenden#Wahrscheinlichkeitsrechnung|Taschenrechner]] zu berechnen, müssen die Wahrscheinlichkeiten gemäß den folgenden Regeln umgeformt werden. Dabei gilt <math>k_1,~k_2 \in \mathbb{N}</math>. (Siehe auch [[Wahrscheinlichkeitsverteilung#Schreibweisen_f%C3%BCr_Wahrscheinlichkeiten|Größer-Kleiner-Zeichen]]):
*<math>P(X= k_1)</math> kann mit dem [[Taschenrechner_verwenden#Wahrscheinlichkeitsrechnung|Taschenrechner]] direkt berechnet werden
*<math>P(X\leq k_1)</math> kann mit dem [[Taschenrechner_verwenden#Wahrscheinlichkeitsrechnung|Taschenrechner]] direkt berechnet werden
*<math>P(X< k_1)=P(X\leq (k_1-1))</math>
*<math>P(X> k_1)=1-P(X\leq k_1)</math>
*<math>P(X\geq k_1)=1-P(X< k_1)=1-P(X\leq (k_1-1))</math>
*<math>P(k_1 \leq X \leq k_2)=P(X\leq k_2)-P(X\leq (k_1-1))</math>
*<math>P(k_1 < X < k_2)=P((k_1+1) \leq X \leq (k_2-1))=P(X\leq (k_2-1))-P(X\leq k_1)</math>


<math>P\left(\mu-1,64\sigma\leq X\leq\mu+1,64\sigma\right)\approx0,9</math> 90%-Regel
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/voPP8Z7jGsA?si=jSxTL6FH6qnIPSq7" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/EPzXRrErLaM?si=L8btUsbwukYRyZJA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
<math>P\left(\mu-1,96\sigma\leq X\leq\mu+1,96\sigma\right)\approx0,95</math> 95%-Regel
<math>P\left(\mu-2,58\sigma\leq X\leq\mu+2,58\sigma\right)\approx0,99</math> 99%-Regel


==Beispiele==
==Auslastungmodell==
Mittels der Formel <math>P(X=k) = {n \choose k}\cdot\left(\frac{m}{60}\right)^k\cdot\left(1-\frac{m}{60}\right)^{n-k}</math> lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür errechnen, dass <math>k \in \mathbb{N}</math> von <math>n\in \mathbb{N}</math> Personen eine Tätigkeit, die durchschnittlich <math>m \in \mathbb{R}^{\geq 0}</math> Minuten pro Stunde dauert, gleichzeitig ausführen.


<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/dkrErCbQ6Bw?si=euhahtXHnZI9Rf3O" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>


===Binomialverteilung===
==Beispiele==
Der einfache Münzwurf ist ein Bernoulli-Experiment. Es gilt p=0,5 (Zahl) und q=1-0,5=0,5 (Kopf). Der zweifache Münzwurf ist ein Beispiel für eine Bernoulli-Kette, da die Durchführungen unabhängig voneinander sind. D. h. bei jedem Münzwurf bleibt die Wahrscheinlichkeit für Zahl bzw. Kopf 0,5.
===Bernoulli-Experiment einfacher Münzwurf===
Das [[Zufallsexperiment]] des einfachen Münzwurfes mit Zahl (Erfolg) oder Kopf (Misserfolg) als Ergebnis ist ein Bernoulli-Experiment. Für die Erfolgswahrscheinlichkeit gilt <math>p=\frac{1}{2}</math> (Zahl) und für die Misserfolgswahrscheinlichkeit gilt <math>q=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}</math> (Kopf).  


<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/8B3qmuQk2xs?si=fK9vNYCvhEIa1tpH" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
===Bernoulli-Kette zweifacher Münzwurf===
Der zweifache Münzwurf ist ein Beispiel für eine Bernoulli-Kette, da die Durchführungen unabhängig voneinander sind. D. h. bei jedem Münzwurf bleibt die Wahrscheinlichkeit für Zahl <math>p=\frac{1}{2}</math> und für Kopf <math>q=\frac{1}{2}</math>.


Die Wahrscheinlichkeit, beim 20-maligen Werfen eines Würfels genau 3-mal die 6 zu würfeln, beträgt:
===Binomialverteilung beim 20-maligen Werfen eines Würfels===
Wir betrachten die Bernoulli-Kette 20-maliges werfen eines Würfels. Eine 6 zu würfeln bedeutet Erfolg und jede andere Zahl bedeutet Misserfolg. Das einmalige Werfen des Würfels ist ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p=\frac{1}{6}</math> und der Misserfolgswahrscheinlichkeit <math>q=\frac{5}{6}</math>. Damit ist <math>X</math>, Häufigkeit der Augenzahl 6, eine <math>B_{20;\frac{1}{6}}</math>-verteilte Zufallsvariable. Die Wahrscheinlichkeit, beim 20-maligen Werfen eines Würfels genau 3-mal die 6 zu würfeln, beträgt <math>P(X=3)=\binom{20}{3}\cdot{\frac{1}{6}}^3\cdot(1-\frac{1}{6})^{(20-3)}=\binom{20}{3}\cdot{\frac{1}{6}}^3\cdot{\frac{5}{6}}^{17}\approx0,238</math>.


<math>P\left(X=3\right)=\binom{20}{3}\cdot{\frac{1}{6}}^3\cdot\left(1-\frac{1}{6}\right)^{\left(20-3\right)}=\binom{20}{3}\cdot{\frac{1}{6}}^3\cdot{\frac{5}{6}}^{17}\approx0,238</math>
===Binomialverteilung beim dreifachen Münzwurf===
[[Datei:WahrscheinlichkeitsrechnungDreiMünzWahr.png|mini|Baumdiagramm zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurfs mit Wahrscheinlichkeiten]]
Eine Münze wird dreimal geworfen und man beobachtet, in welcher Reihenfolge Zahl (Z) und Kopf (K) oben liegen. Die [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] ist <math>S = \{ZZZ; ZZK; ZKZ; ZKK; KZZ; KZK; KKZ; KKK\}</math>. Da ein [[Laplace-Experiment]] vorliegt, beträgt die [[Wahrscheinlichkeit]] genau zweimal Kopf zu werfen <math>P(E)=\frac{3}{8}=0,375</math> mit <math>E=\{KKZ;KZK;ZKK\}</math>. Wir wenden die Binomialverteilung wie folgt an:


Die Zufallsvariable X gibt die Häufigkeit einer 6 an. Die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln beträgt <math>\frac{1}{6}</math> und die Wahrscheinlichkeit keine 6 zu würfeln beträgt <math>\frac{5}{6}</math>.
Wir betrachten die <math>B_{3;\frac{1}{2}}</math>-verteilte [[Zufallsvariable]] <math>X</math>, die die Häufigkeit von Kopf angibt, und wollen <math>P(X=2)</math> bestimmen. Jeder [[Baumdiagramm#Definition|Pfad]] der Bernoulli-Kette besteht aus insgesamt 3 [[Baumdiagramm#Definition|Teilpfade]], wovon genau 2 Teilpfade zu Kopf führen müssen. Da die Reihenfolge der Teilpfade keine Rolle spielen und ein Teilpfad nicht doppelt vorkommen darf, gibt es insgesamt <math>\binom{3}{2}=3</math> mögliche Pfade (Siehe: [[Kombinatorik#Anzahl_m%C3%B6glicher_Ergebnisse_bei_einem_Zufallsexperiment_ermitteln|Ohne Beachtung der Reihenfolge, Ohne Zurücklegen]]). Für jeden Pfad gilt: Zwei Teilpfade besitzen jeweils die Wahrscheinlichkeit <math>\frac{1}{2}</math> für Kopf und ein Teilpfad besitzt die Wahrscheinlichkeit <math>\frac{1}{2}</math> für Zahl. Es gilt also:


Eine Münze wird dreimal geworfen und man beobachtet, in welcher Reihenfolge Zahl (Z) und Kopf (K) oben liegen. Da ein Laplace-Experiment vorliegt, beträgt die Wahrscheinlichkeit genau zweimal Kopf zu werfen <math>\frac{3}{8}=0,375</math> (Ereignis genau zweimal Kopf: <math>E=\{KKZ;KZK;ZKK\}</math> und es gibt 8 mögliche Ergebnisse). Die Berechnung mit der Binomialverteilung funktioniert wie folgt:
<math>P(X=2)=\binom{3}{2}\cdot{\frac{1}{2}}^2\cdot(1-\frac{1}{2})^{(3-2)}=3\cdot{\frac{1}{2}}^2\cdot{\frac{1}{2}}^1=3\cdot0,125=0,375</math>


Wir betrachten die Zufallsvariable X, die die Häufigkeit von Kopf angibt, und wollen <math>P(X=2)</math> bestimmen. Jeder Pfad der Bernoulli-Kette besteht aus insgesamt 3 Teilpfade. Genau 2 Teilpfade müssen zu Kopf führen. Da die Reihenfolge der Teilpfade keine Rolle spielen und ein Teilpfad nicht doppelt vorkommen darf, gibt es insgesamt <math>\binom{3}{2}=3</math> mögliche Pfade. Für jeden Pfad gilt: Zwei Teilpfade besitzen die Wahrscheinlichkeit 0,5 für Kopf und ein Teilpfad besitzt die Wahrscheinlichkeit 0,5 für Zahl. Es gilt also:
<math>\binom{3}{2}</math> ist gleichbedeutend mit „wir erhalten genau zwei Erfolge (Kopf) aus insgesamt 3 Würfen“. <math>(\frac{1}{2})^2</math> ist die Wahrscheinlichkeit für zweimal Erfolg (Kopf) und <math>(\frac{1}{2})^1</math> ist die Wahrscheinlichkeit für einmal Misserfolg  (Zahl).


<math>P\left(X=2\right)=\binom{3}{2}\cdot{0,5}^2\cdot\left(1-0,5\right)^{\left(3-2\right)}=3\cdot{0,5}^2\cdot{0,5}^1=3\cdot0,125=0,375</math>
===Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung und 95% Regeln anwenden===
 
Im Alter zwischen 15 und 20 Jahren rauchen 25,5% der deutschen Bevölkerung. In einer Schule mit 640 Schülerinnen und Schülern in diesem Alter rauchen 118 Schülerinnen und Schüler.
<math>\binom{3}{2}</math> ist gleichbedeutend mit „wir wollen zwei Erfolge (Kopf) aus insgesamt 3 Würfen“. <math>0,5^2</math> ist die Wahrscheinlichkeit für zweimal Erfolg (Kopf) und <math>{0,5}^1</math> ist die Wahrscheinlichkeit für einmal Misserfolg  (Zahl).


Im Alter zwischen 15 und 20 Jahren rauchen 25,5% der deutschen Bevölkerung. In einer Schule mit 640 Schülerinnen und Schülern in diesem Alter rauchen 118 Schülerinnen und Schüler.
Betrachten wir die Zufallsvariable <math>X</math>, Anzahl rauchende 15-20-Jährige in der Schule, dann liegt eine Bernoulli-Kette mit <math>n=640</math> und <math>p=0,255</math> vor. Der Erwartungswert beträgt <math>\mu=E(X)=640 \cdot 0,255=163,2</math> und die Varianz ist <math>\sigma^2=V(X)=640\cdot0,255\cdot0,745=121,584</math>. Die Standardabweichung ist also <math>\sigma\approx\ 11</math>. Die Anzahl der rauchenden Schülerinnen und Schülern der Schule liegt mit 118 unter der erwarteten Anzahl von ungefähr <math>\mu=163</math> und sogar unter <math>163-11=152</math>, wenn die erwartete Abweichung von <math>\sigma \approx 11</math> berücksichtigt wird.


Betrachten wir die Zufallsvariable X, Anzahl rauchende 15-20-Jährige in der Schule, dann liegt eine Bernoulli-Kette mit n=640 und p=0,255 vor. Der Erwartungswert beträgt <math>\mu=640\ \cdot0,255=163,2</math> und die Varianz ist <math>\sigma^2=640\cdot0,255\cdot0,745=121,584</math>. Die Standardabweichung ist also <math>\sigma\approx\ 11,03</math>. Wir setzen diese Werte in die Gleichung für die 95%-Regel ein und erhalten
Wir setzen diese Werte in die Gleichung für die 95%-Regel ein und erhalten


<math>P\left(163,2-1,96\cdot11,03\leq X\le163+1,96\cdot11,03\right)\approx0,95</math>
<math>P\left(163,2-1,96\cdot11,03\leq X\le163+1,96\cdot11,03\right)\approx0,95</math>
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Legen wir zugrunde, dass ein Schüler oder eine Schülerin mit einer Wahrscheinlichkeit von 25,5% Raucher oder Raucherin ist, dann sind mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% zwischen 142 und 184 Raucherinnen und Raucher an der Schule.
Legen wir zugrunde, dass ein Schüler oder eine Schülerin mit einer Wahrscheinlichkeit von 25,5% Raucher oder Raucherin ist, dann sind mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% zwischen 142 und 184 Raucherinnen und Raucher an der Schule.


===Auslastungmodell===
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===Wahrscheinlichkeiten umformen===
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/voPP8Z7jGsA?si=jSxTL6FH6qnIPSq7" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/EPzXRrErLaM?si=L8btUsbwukYRyZJA" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>


[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:Fachabitur]]
[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]
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