Binomialverteilung

Die Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Bernoulli-Kette.

Bernoulli-Experiment

Ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ergebnissen, Erfolg und Misserfolg, heißt Bernoulli-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg wird mit [math]\displaystyle{ p }[/math] und die Wahrscheinlichkeit für Misserfolg mit [math]\displaystyle{ q=1-p }[/math] bezeichnet. Dabei gilt [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R} }[/math] und [math]\displaystyle{ 0 \leq p \leq 1 }[/math].

Bernoulli-Kette

Ein Zufallsexperiment, das aus [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math] unabhängigen Durchführungen desselben Bernoulli-Experiments besteht, heißt Bernoulli-Kette der Länge [math]\displaystyle{ n }[/math].

Definition

Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math]. Für jedes Bernoulli-Experiment ist die Erfolgswahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ p }[/math] mit [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R} }[/math] und [math]\displaystyle{ 0 \leq p \leq 1 }[/math]. Die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] gibt die Anzahl der Erfolge an. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau [math]\displaystyle{ k }[/math] Erfolge [math]\displaystyle{ P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{(n-k)} }[/math] mit [math]\displaystyle{ 0 \leq k \leq n }[/math] und [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math]. [math]\displaystyle{ P:\mathbb{N}_0^{\leq n} \rightarrow \mathbb{R} }[/math] heißt dann Binomialverteilung mit den Parametern [math]\displaystyle{ n }[/math] und [math]\displaystyle{ p }[/math]. Für [math]\displaystyle{ P(X=k) }[/math] schreibt man auch [math]\displaystyle{ B_{n;p}(k) }[/math] und nennt [math]\displaystyle{ X }[/math] eine [math]\displaystyle{ B_{n;p} }[/math]-verteilte Zufallsvariable. [math]\displaystyle{ \binom{n}{k} }[/math] ist der Binomialkoeffizient.

Eigenschaften

Erwartungswert

Es sei [math]\displaystyle{ X }[/math] eine [math]\displaystyle{ B_{n;p} }[/math]-verteilte Zufallsvariable mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math], [math]\displaystyle{ p }[/math] mit [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R} }[/math] und [math]\displaystyle{ 0 \leq p \leq 1 }[/math], dann ist [math]\displaystyle{ \mu=E(X)=n\cdot p }[/math] der Erwartungswert [math]\displaystyle{ X }[/math].

Varianz

Es sei [math]\displaystyle{ X }[/math] eine [math]\displaystyle{ B_{n;p} }[/math]-verteilte Zufallsvariable mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math], [math]\displaystyle{ p }[/math] mit [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R} }[/math] und [math]\displaystyle{ 0 \leq p \leq 1 }[/math], dann ist [math]\displaystyle{ \sigma^2=V(X)=n\cdot p\cdot(1-p) }[/math] die Varianz von [math]\displaystyle{ X }[/math].

Standardabweichung

Es sei [math]\displaystyle{ X }[/math] eine [math]\displaystyle{ B_{n;p} }[/math]-verteilte Zufallsvariable mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math], [math]\displaystyle{ p }[/math] mit [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R} }[/math] und [math]\displaystyle{ 0 \leq p \leq 1 }[/math], dann ist [math]\displaystyle{ \sigma=\sqrt{V\left(X\right)}=\sqrt{n\cdot p\cdot\left(1-p\right)} }[/math] die Standardabweichung von [math]\displaystyle{ X }[/math].

Histogramm

Im folgenden Video wird das Histogramm der Binomialverteilung erläutert.

Sigmaregeln

Es sei [math]\displaystyle{ X }[/math] eine [math]\displaystyle{ B_{n;p} }[/math]-verteilte Zufallsvariable mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math], [math]\displaystyle{ p }[/math] mit [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R} }[/math] und [math]\displaystyle{ 0 \leq p \leq 1 }[/math], dann gilt

• [math]\displaystyle{ P\left(\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma\right)\approx0,680 }[/math] [math]\displaystyle{ 1\sigma }[/math]-Regel
• [math]\displaystyle{ P\left(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu+2\sigma\right)\approx0,955 }[/math] [math]\displaystyle{ 2\sigma }[/math]-Regel
• [math]\displaystyle{ P\left(\mu-3\sigma\leq X\leq\mu+3\sigma\right)\approx0,997 }[/math] [math]\displaystyle{ 3\sigma }[/math]-Regel mit [math]\displaystyle{ \sigma \geq 3 }[/math]
• [math]\displaystyle{ P\left(\mu-1,64\sigma\leq X\leq\mu+1,64\sigma\right)\approx0,9 }[/math] 90%-Regel
• [math]\displaystyle{ P\left(\mu-1,96\sigma\leq X\leq\mu+1,96\sigma\right)\approx0,95 }[/math] 95%-Regel
• [math]\displaystyle{ P\left(\mu-2,58\sigma\leq X\leq\mu+2,58\sigma\right)\approx0,99 }[/math] 99%-Regel

Regeln zum Umformen von Wahrscheinlichkeiten

Um Wahrscheinlichkeiten für eine [math]\displaystyle{ B_{n;p} }[/math]-verteilte Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math] mit dem Taschenrechner zu berechnen, müssen die Wahrscheinlichkeiten gemäß den folgenden Regeln umgeformt werden. Dabei gilt [math]\displaystyle{ k_1,~k_2 \in \mathbb{N} }[/math]. (Siehe auch Größer-Kleiner-Zeichen):

• [math]\displaystyle{ P(X= k_1) }[/math] kann mit dem Taschenrechner direkt berechnet werden
• [math]\displaystyle{ P(X\leq k_1) }[/math] kann mit dem Taschenrechner direkt berechnet werden
• [math]\displaystyle{ P(X\lt k_1)=P(X\leq (k_1-1)) }[/math]
• [math]\displaystyle{ P(X\gt k_1)=1-P(X\leq k_1) }[/math]
• [math]\displaystyle{ P(X\geq k_1)=1-P(X\lt k_1)=1-P(X\leq (k_1-1)) }[/math]
• [math]\displaystyle{ P(k_1 \leq X \leq k_2)=P(X\leq k_2)-P(X\leq (k_1-1)) }[/math]
• [math]\displaystyle{ P(k_1 \lt X \lt k_2)=P((k_1+1) \leq X \leq (k_2-1))=P(X\leq (k_2-1))-P(X\leq k_1) }[/math]

Auslastungmodell

Mittels der Formel [math]\displaystyle{ P(X=k) = {n \choose k}\cdot\left(\frac{m}{60}\right)^k\cdot\left(1-\frac{m}{60}\right)^{n-k} }[/math] lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür errechnen, dass [math]\displaystyle{ k \in \mathbb{N} }[/math] von [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] Personen eine Tätigkeit, die durchschnittlich [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{R}^{\geq 0} }[/math] Minuten pro Stunde dauert, gleichzeitig ausführen.

Beispiele

Bernoulli-Experiment einfacher Münzwurf

Das Zufallsexperiment des einfachen Münzwurfes mit Zahl (Erfolg) oder Kopf (Misserfolg) als Ergebnis ist ein Bernoulli-Experiment. Für die Erfolgswahrscheinlichkeit gilt [math]\displaystyle{ p=\frac{1}{2} }[/math] (Zahl) und für die Misserfolgswahrscheinlichkeit gilt [math]\displaystyle{ q=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} }[/math] (Kopf).

Bernoulli-Kette zweifacher Münzwurf

Der zweifache Münzwurf ist ein Beispiel für eine Bernoulli-Kette, da die Durchführungen unabhängig voneinander sind. D. h. bei jedem Münzwurf bleibt die Wahrscheinlichkeit für Zahl [math]\displaystyle{ p=\frac{1}{2} }[/math] und für Kopf [math]\displaystyle{ q=\frac{1}{2} }[/math].

Binomialverteilung beim 20-maligen Werfen eines Würfels

Wir betrachten die Bernoulli-Kette 20-maliges werfen eines Würfels. Eine 6 zu würfeln bedeutet Erfolg und jede andere Zahl bedeutet Misserfolg. Das einmalige Werfen des Würfels ist ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ p=\frac{1}{6} }[/math] und der Misserfolgswahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ q=\frac{5}{6} }[/math]. Damit ist [math]\displaystyle{ X }[/math], Häufigkeit der Augenzahl 6, eine [math]\displaystyle{ B_{20;\frac{1}{6}} }[/math]-verteilte Zufallsvariable. Die Wahrscheinlichkeit, beim 20-maligen Werfen eines Würfels genau 3-mal die 6 zu würfeln, beträgt [math]\displaystyle{ P(X=3)=\binom{20}{3}\cdot{\frac{1}{6}}^3\cdot(1-\frac{1}{6})^{(20-3)}=\binom{20}{3}\cdot{\frac{1}{6}}^3\cdot{\frac{5}{6}}^{17}\approx0,238 }[/math].

Binomialverteilung beim dreifachen Münzwurf

Baumdiagramm zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurfs mit Wahrscheinlichkeiten

Eine Münze wird dreimal geworfen und man beobachtet, in welcher Reihenfolge Zahl (Z) und Kopf (K) oben liegen. Die Ergebnismenge ist [math]\displaystyle{ S = \{ZZZ; ZZK; ZKZ; ZKK; KZZ; KZK; KKZ; KKK\} }[/math]. Da ein Laplace-Experiment vorliegt, beträgt die Wahrscheinlichkeit genau zweimal Kopf zu werfen [math]\displaystyle{ P(E)=\frac{3}{8}=0,375 }[/math] mit [math]\displaystyle{ E=\{KKZ;KZK;ZKK\} }[/math]. Wir wenden die Binomialverteilung wie folgt an:

Wir betrachten die [math]\displaystyle{ B_{3;\frac{1}{2}} }[/math]-verteilte Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math], die die Häufigkeit von Kopf angibt, und wollen [math]\displaystyle{ P(X=2) }[/math] bestimmen. Jeder Pfad der Bernoulli-Kette besteht aus insgesamt 3 Teilpfade, wovon genau 2 Teilpfade zu Kopf führen müssen. Da die Reihenfolge der Teilpfade keine Rolle spielen und ein Teilpfad nicht doppelt vorkommen darf, gibt es insgesamt [math]\displaystyle{ \binom{3}{2}=3 }[/math] mögliche Pfade (Siehe: Ohne Beachtung der Reihenfolge, Ohne Zurücklegen). Für jeden Pfad gilt: Zwei Teilpfade besitzen jeweils die Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] für Kopf und ein Teilpfad besitzt die Wahrscheinlichkeit [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math] für Zahl. Es gilt also:

[math]\displaystyle{ P(X=2)=\binom{3}{2}\cdot{\frac{1}{2}}^2\cdot(1-\frac{1}{2})^{(3-2)}=3\cdot{\frac{1}{2}}^2\cdot{\frac{1}{2}}^1=3\cdot0,125=0,375 }[/math]

[math]\displaystyle{ \binom{3}{2} }[/math] ist gleichbedeutend mit „wir erhalten genau zwei Erfolge (Kopf) aus insgesamt 3 Würfen“. [math]\displaystyle{ (\frac{1}{2})^2 }[/math] ist die Wahrscheinlichkeit für zweimal Erfolg (Kopf) und [math]\displaystyle{ (\frac{1}{2})^1 }[/math] ist die Wahrscheinlichkeit für einmal Misserfolg (Zahl).

Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung und 95% Regeln anwenden

Im Alter zwischen 15 und 20 Jahren rauchen 25,5% der deutschen Bevölkerung. In einer Schule mit 640 Schülerinnen und Schülern in diesem Alter rauchen 118 Schülerinnen und Schüler.

Betrachten wir die Zufallsvariable [math]\displaystyle{ X }[/math], Anzahl rauchende 15-20-Jährige in der Schule, dann liegt eine Bernoulli-Kette mit [math]\displaystyle{ n=640 }[/math] und [math]\displaystyle{ p=0,255 }[/math] vor. Der Erwartungswert beträgt [math]\displaystyle{ \mu=E(X)=640 \cdot 0,255=163,2 }[/math] und die Varianz ist [math]\displaystyle{ \sigma^2=V(X)=640\cdot0,255\cdot0,745=121,584 }[/math]. Die Standardabweichung ist also [math]\displaystyle{ \sigma\approx\ 11 }[/math]. Die Anzahl der rauchenden Schülerinnen und Schülern der Schule liegt mit 118 unter der erwarteten Anzahl von ungefähr [math]\displaystyle{ \mu=163 }[/math] und sogar unter [math]\displaystyle{ 163-11=152 }[/math], wenn die erwartete Abweichung von [math]\displaystyle{ \sigma \approx 11 }[/math] berücksichtigt wird.

Wir setzen diese Werte in die Gleichung für die 95%-Regel ein und erhalten

[math]\displaystyle{ P\left(163,2-1,96\cdot11,03\leq X\le163+1,96\cdot11,03\right)\approx0,95 }[/math]

[math]\displaystyle{ P\left(141,6\le X\le184,8\right)\approx0,95 }[/math]

Legen wir zugrunde, dass ein Schüler oder eine Schülerin mit einer Wahrscheinlichkeit von 25,5% Raucher oder Raucherin ist, dann sind mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% zwischen 142 und 184 Raucherinnen und Raucher an der Schule.