Varianz (Wahrscheinlichkeitsrechnung): Unterschied zwischen den Versionen

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-Gemäß dem [[Empirisches_Gesetz_der_großen_Zahlen|empirischen Gesetz der großen Zahlen]] nähern sich die [[Häufigkeit|relativen Häufigkeiten]] der Ergebnisse eines [[Zufallsexperiment|Zufallsexperiments]] den [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeiten]] an. Die Varianz ist der [[Erwartungswert]] der quadrierten Abweichungen der Ergebnisse vom Erwartungswert.
+Gemäß dem [[Empirisches Gesetz der großen Zahlen|empirischen Gesetz der großen Zahlen]] nähern sich die [[Häufigkeit|relativen Häufigkeiten]] der Ausgänge eines [[Zufallsexperiment|Zufallsexperiments]] bei wachsender Versuchszahl den theoretischen [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeiten]] an. Während der [[Erwartungswert]] das Zentrum einer Wahrscheinlichkeitsverteilung angibt, beschreiben die '''Varianz''' und die '''Standardabweichung''' als fundamentale Streuungsmaße, wie stark die Werte einer [[Zufallsvariable]] um diesen Erwartungswert streuen. Die Varianz ist definiert als der Erwartungswert der quadrierten Abweichungen der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert.
 ==Definition==
-Es sei <math>S=\{x_1,x_2,...,x_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math>. Für die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> und die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P:S \rightarrow \mathbb{R}</math> sei <math>P(X=x_i)</math> die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeit]] des Ergebnisses <math>x_i</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math> und <math>E(X)</math> der [[Erwartungswert]]. Dann ist <math>\sigma^2=V(X)=(x_1-E(X))^2 \cdot P(X=x_1)+(x_2-E(X))^2 \cdot P(X=x_2)+...+(x_n-E(X))^2 \cdot P(X=x_n)</math> die '''Varianz''' der Zufallsvariable.
+Es sei ein Zufallsexperiment mit der endlichen [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] <math>\Omega</math> gegeben. Eine diskrete [[Zufallsvariable]] <math>X</math> nehme die Werte <math>x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{R}</math> mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten <math>P(X = x_i)</math> an (wobei <math>\sum_{i=1}^n P(X = x_i) = 1</math> gilt). Es sei <math>\mu = E(X)</math> der [[Erwartungswert]] von <math>X</math>.
+Die '''Varianz''' <math>\sigma^2 = V(X)</math> (häufig auch <math>\operatorname{Var}(X)</math>) der Zufallsvariablen <math>X</math> ist definiert als:
+<math>V(X) = E\left((X - \mu)^2\right) = \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)</math>
+In ausführlicher Schreibweise:
+<math>V(X) = (x_1 - \mu)^2 \cdot P(X = x_1) + (x_2 - \mu)^2 \cdot P(X = x_2) + \dots + (x_n - \mu)^2 \cdot P(X = x_n)</math>
+'''Bedeutung der Bestandteile:'''
+*<math>x_i</math> sind die möglichen Realisationen (Werte) der Zufallsvariablen <math>X</math>.
+*<math>\mu = E(X)</math> ist der Erwartungswert der Zufallsvariablen.
+*<math>(x_i - \mu)</math> stellt die lineare Abweichung des Wertes <math>x_i</math> vom Erwartungswert dar.
+*<math>(x_i - \mu)^2</math> ist die quadrierte Abweichung. Durch das Quadrieren werden alle Abweichungen positiv gewertet, und größere Ausreißer werden überproportional stark gewichtet.
+*<math>P(X = x_i)</math> ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Wertes <math>x_i</math>.
 <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/z3SaOb0y6Ug?si=3nvQPoCqJsooVLFo" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
 ==Standardabweichung==
-Für ein [[Zufallsexperiment]] sei <math>X</math> eine [[Zufallsvariable]] und <math>V(X)</math> die Varianz der Zufallsvariable, dann heißt <math>\sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}</math> '''Standardabweichung'''.
+Da die Varianz durch das Quadrieren der Differenzen in einer quadrierten Maßeinheit vorliegt (z. B. <math>\text{Euro}^2</math> oder <math>\text{Stück}^2</math>), wird zur anschaulichen Interpretation die '''Standardabweichung''' herangezogen.
+Für eine diskrete Zufallsvariable <math>X</math> mit der Varianz <math>V(X)</math> ist die Standardabweichung <math>\sigma</math> (Sigma) als die nichtnegative Quadratwurzel aus der Varianz definiert:
+<math>\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)}</math>
+'''Interpretation:'''
+Die Standardabweichung <math>\sigma</math> besitzt dieselbe Einheit wie die Zufallsvariable <math>X</math> selbst sowie ihr Erwartungswert <math>\mu</math>. Sie beziffert die durchschnittliche bzw. typische Streubreite der Werte um den Erwartungswert.
+==Beispiel: Dreifacher Münzwurf==
+Eine faire Münze wird dreimal geworfen. Die [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] lautet:
+<math>\Omega = \{\mathrm{ZZZ}, \mathrm{ZZK}, \mathrm{ZKZ}, \mathrm{ZKK}, \mathrm{KZZ}, \mathrm{KZK}, \mathrm{KKZ}, \mathrm{KKK}\}</math>
+Die diskrete [[Zufallsvariable]] <math>X</math> beschreibt die Anzahl der Erfolge („Zahl“). Die Zufallsvariable kann die Werte <math>x_i \in \{0, 1, 2, 3\}</math> annehmen.
+Die zugehörige [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] stellt sich tabellarisch wie folgt dar:
+{| class="wikitable" style="text-align:center;"
+|-
+! Wert <math>x_i</math> !! Günstige Ergebnisse aus <math>\Omega</math> !! Wahrscheinlichkeit <math>P(X = x_i)</math>
+|-
+| <math>0</math> || <math>\{\mathrm{KKK}\}</math> || <math>\frac{1}{8} = 0{,}125</math>
+|-
+| <math>1</math> || <math>\{\mathrm{ZKK}, \mathrm{KZK}, \mathrm{KKZ}\}</math> || <math>\frac{3}{8} = 0{,}375</math>
+|-
+| <math>2</math> || <math>\{\mathrm{ZZK}, \mathrm{ZKZ}, \mathrm{KZZ}\}</math> || <math>\frac{3}{8} = 0{,}375</math>
+|-
+| <math>3</math> || <math>\{\mathrm{ZZZ}\}</math> || <math>\frac{1}{8} = 0{,}125</math>
+|-
+| '''Summe''' || || <math>1{,}000</math>
+|}
+===1. Berechnung des Erwartungswerts===
+Der [[Erwartungswert]] <math>\mu = E(X)</math> berechnet sich als Summe der Produkte aus den Werten <math>x_i</math> und ihren Wahrscheinlichkeiten <math>P(X = x_i)</math>:
+<math>\mu = E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \cdot P(X = x_i)</math>
+<math>E(X) = 0 \cdot 0{,}125 + 1 \cdot 0{,}375 + 2 \cdot 0{,}375 + 3 \cdot 0{,}125</math>
+<math>E(X) = 0 + 0{,}375 + 0{,}750 + 0{,}375 = 1{,}5</math>
+Bei einem dreifachen Münzwurf ist im Mittel somit <math>\mu = 1{,}5</math>-mal das Ergebnis „Zahl“ zu erwarten.
+===2. Berechnung der Varianz===
+Die Varianz ergibt sich durch das Summieren der mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichteten quadrierten Abweichungen vom Erwartungswert <math>\mu = 1{,}5</math>:
+<math>V(X) = \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)</math>
+<math>V(X) = (0 - 1{,}5)^2 \cdot 0{,}125 + (1 - 1{,}5)^2 \cdot 0{,}375 + (2 - 1{,}5)^2 \cdot 0{,}375 + (3 - 1{,}5)^2 \cdot 0{,}125</math>
+<math>V(X) = (-1{,}5)^2 \cdot 0{,}125 + (-0{,}5)^2 \cdot 0{,}375 + (0{,}5)^2 \cdot 0{,}375 + (1{,}5)^2 \cdot 0{,}125</math>
+<math>V(X) = 2{,}25 \cdot 0{,}125 + 0{,}25 \cdot 0{,}375 + 0{,}25 \cdot 0{,}375 + 2{,}25 \cdot 0{,}125</math>
+<math>V(X) = 0{,}28125 + 0{,}09375 + 0{,}09375 + 0{,}28125 = 0{,}75</math>
+Die Varianz der Zufallsvariablen beträgt <math>V(X) = 0{,}75</math>.
+===3. Berechnung der Standardabweichung===
+Die Standardabweichung <math>\sigma</math> ist die Quadratwurzel aus der Varianz:
-==Beispiele==
+<math>\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0{,}75} \approx 0{,}866 \approx 0{,}87</math>
-===VarianzStandardabweichung zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurf ermitteln===
-Für das [[Zufallsexperiment]] des dreifachen Münzwurfes mit der [[Zufallsvariable]] <math>X</math>, Anzahl von Zahl, und der [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>P(X=0)=0,125</math>, <math>P(X=1)=0,375</math>, <math>P(X=2)=0,375</math> und <math>P(X=3)=0,125</math>, wird der Erwartungswert durch <math>E\left(X\right)=0\cdot0,125+1\cdot0,375+2\cdot0,375+3\cdot0,125=1,5</math> berechnet. Die Varianz berechnet sich dann durch <math>V\left(X\right)=\left(0-1,5\right)^2\cdot0,125+\left(1-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(2-1,5\right)^2\cdot0,375+\left(3-1,5\right)^2\cdot0,125=0,75</math>.
-===Standardabweichung zum Zufallsexperiment des dreifachen Münzwurf ermitteln===
+'''Interpretation des Ergebnisses:'''
-Die Standardabweichung der oberen Zufallsvariable <math>X</math> berechnet sich durch durch <math>\sigma=\sqrt{\left(V\left(X\right)\right)}=\sqrt{0,75} \approx 0,87</math>. Die erwartete Abweichung vom Erwartungswert beträgt <math>0,87</math>.
+Bei einer erwarteten Anzahl von <math>\mu = 1{,}5</math> Treffern beträgt die typische Abweichung (Streuung) rund <math>\sigma \approx 0{,}87</math> Treffer.
 [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
-[[Kategorie:Fachabitur]]
+[[Kategorie:FHR WuV Mathe]]
+[[Kategorie:AHR WuV Mathe GK]]

Varianz (Wahrscheinlichkeitsrechnung): Unterschied zwischen den Versionen

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