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Lineare Funktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Lineare Funktionen sind Funktionen der Form <math>f(x)=mx+b</math>. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Anwendungen finden lineare Funktionen in der [[Gewinnanalyse]] oder der [[Marktanalyse]].
Lineare Funktionen sind ein wesentlicher Bestandteil der Analysis und damit ein Gebiet der Mathematik. Sie haben viele praktische Anwendungen in verschiedenen Bereichen wie Wirtschaft, Ingenieurwesen, Naturwissenschaften und Sozialwissenschaften und beschreiben die Beziehung zwischen zwei Variablen, die linear miteinander verbunden sind, und können verwendet werden, um Trends, Muster und Veränderungen im Verhalten von Phänomenen zu analysieren und vorherzusagen.  


==Definition==
==Definition==
Eine Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=mx+b</math> heißt '''lineare Funktion'''. Der Graph einer linearen Funktion ist eine '''Gerade''' mit der '''Steigung''' <math>m</math> und dem '''<math>y</math>-Achsenabschnitt''' <math>𝑏</math>. Die Gleichung der Geraden ist <math>y=mx+b</math>. Ein Punkt <math>P(c|d)</math> liegt genau dann auf <math>f</math>, wenn gilt: <math>d=m \cdot c+b</math>.
Eine Funktion <math>f</math> mit der Funktionsvorschrift <math>f(x)=mx+b</math> heißt '''lineare Funktion''' mit der '''Steigung''' <math>m \in \mathbb{R}</math> und dem '''<math>y</math>-Achsenabschnitt''' <math>b \in \mathbb{R}</math>. Die Gleichung der Geraden ist <math>y=mx+b</math>. Der [[Graph]] einer linearen Funktion ist eine '''Gerade'''. Ein Punkt <math>P(c|d)</math> liegt genau dann auf dem [[Graph]] von <math>f</math>, wenn <math>d=m \cdot c+b</math> gilt.
 
===Beispiel lineare Funktion===
[[Datei:LineareFunktionenDefinition.png|mini|Graph von <math>f(x)=2x+2</math> mit Steigung und y-Achsenabschenitt]]
Gegeben ist die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=2x+2</math>. Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist <math>2</math>, da die Gerade im Punkt <math>(0|2)</math> die <math>y</math>-Achse schneidet. Die Steigung ist <math>2</math>, da man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben gehen kann, um wieder auf die Gerade zu kommen. Die Gleichung der Geraden ist:
<math>y=2x+2</math>
 
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/VPeVCI3rFUQ?si=AetKtWp6hWlI9OTt" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
 
===x- und y-Werte einer linearen Funktion berechnen===
 
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/G9tk7CHKHCA?si=UcqmObFTcXC82LIN" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
===Beispiel Punktprobe===
Wir betrachten wieder die lineare Funktion <math>f(x)=2x+2</math>. Der Punkt <math>P(2|3)</math> liegt nicht auf der Geraden. Dies kann man auch rechnerisch überprüfen. Setzt man die Koordinaten in die Gleichung der Geraden ein, gilt <math>3\neq2\cdot2+2=6</math>. Die rechnerische Überprüfung, ob ein Punkt auf der Geraden der Funktion liegt, heißt '''Punktprobe'''.
 
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/c22sCWXvLBU?si=ODhKc53mv3Hargs2" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>


==Punkt-Steigungsform der Geradengleichung==
==Punkt-Steigungsform der Geradengleichung==
Sind zwei Punkte <math>P_1(x_1| y_1)</math> und <math>P_2(x_2| y_2)</math> gegeben, dann lässt sich eindeutig eine Gerade durch diese beiden Punkte zeichnen. Falls <math>x_1 \neq x_2</math>, ist dies der Graph einer linearen Funktion. Die Steigung dieser Geraden ist dann <math>m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>. Die Gleichung der Geraden kann in der '''Punkt-Steigungs-Form''' angegeben werden:  
Sind zwei Punkte <math>P_1(x_1| y_1)</math> und <math>P_2(x_2| y_2)</math> gegeben, dann lässt sich eindeutig eine Gerade durch diese beiden Punkte zeichnen. Falls <math>x_1 \neq x_2</math>, ist dies der [[Graph]] einer linearen Funktion. Die Steigung dieser Geraden ist dann <math>m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>. Die Gleichung der Geraden kann in der '''Punkt-Steigungs-Form''' angegeben werden:  


<math>y=m(x-x_1) +y_1 </math>
<math>y=m(x-x_1) +y_1 </math>


Wenn <math>m=0</math> ist, wird die lineare Funktion als konstante Funktion bezeichnet.
Wenn <math>m=0</math> ist, wird die lineare Funktion als konstante Funktion bezeichnet.
===Beispiel Punktsteigungsform ermitteln===
[[Datei:LineareFunktionPunktSteigungsform.png|mini|Graph von <math>f(x)=1,5x+0</math>]]
Gegeben sind die Punkte <math>P_1(2|3)</math> und <math>P_2(4|6)</math>  dann ist <math>m=\frac{6-3}{4-2}=\frac{3}{2}=1,5</math>. Die Gleichung der Punkt-Steigungs-Form ist:
<math>y=1,5(x-2)+3= 1,5x – 1,5 \cdot 2 + 3 = 1,5x – 3 + 3 = 1,5x </math>
===Beispiel y-Achsenabschnitt durch Einsetzen eines Punktes berechnen===
Alternativ können wir b berechnen, indem wir <math>P_1</math> in die Funktion <math>f\left(x\right)=1,5x+b</math> einsetzen:
<math>f\left(x\right)=1,5x+b</math>
<math>3=1,5\cdot 2+b</math>
<math>3=3+b\ |\ -3 </math>
<math>0=b</math>
Also ist die Funktionsvorschrift <math>f\left(x\right)=1,5x</math>.


==Schnittpunkt von zwei Geraden bestimmen==
==Schnittpunkt von zwei Geraden bestimmen==
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<math>y\ =m_2\frac{b_1-b_2}{m_2-m_1}+b_2</math>
<math>y\ =m_2\frac{b_1-b_2}{m_2-m_1}+b_2</math>


===Beispiel===
==Lagebeziehungen zwischen Geraden==
[[Datei:LineareFunktionenSchnittpunkt.png|mini|Schnittpunkt <math>g\left(x\right)=-2x+3</math> von <math>f\left(x\right)=2x-1</math> und <math>g\left(x\right)=-2x+3</math>]]
===Parallele Geraden===
Gegeben sind die Funktionen <math>f\left(x\right)=2x-1</math> und <math>g\left(x\right)=-2x+3</math>.
[[Datei:LineareFunktionParalleleGeraden.png|mini|Parallele Gerade mit <math>f(x)=2 x+3</math> und <math>g(x)=2 x+1</math> ]]
 
Die Geraden von zwei linearen Funktionen <math>g(x)=m_1x+b_1</math> und <math>f(x)=m_2x+b_2</math> sind parallel, wenn sie sich nicht schneiden. Für parallele Geraden gilt <math>m_1=m_2</math>, d. h. die Steigungen sind gleich.
Gleichsetzen liefert
===Orthogonale Geraden===
[[Datei:LineareFunktionOrthogonaleGeraden.png|mini|Orthogonale Geraden mit <math>f(x)=2 x+3</math> und <math>g(x)=-\frac{1}{2} x+3</math>]]
Die Geraden von zwei linearen Funktionen <math>g(x)=m_1x+b_1</math> und <math>f(x)=m_2x+b_2</math> sind orthogonal, wenn sie einen rechten Winkel einschließen. Für orthogonale Geraden gilt <math>m_1 \cdot m_2=-1</math> bzw. <math>m_1 =-\frac{1}{m_2}</math>.


<math>2x-1=-2x+3\ |+1</math>
==Beispiele==
===Steigung, y-Achsenabschnitt und Graph einer linearen Funktion===
[[Datei:LineareFunktionenDefinition.png|mini|[[Graph]] von <math>f(x)=2x+2</math> mit Steigung und y-Achsenabschenitt]]
Gegeben ist die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=2x+2</math>. Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist <math>2</math>, da die Gerade im Punkt <math>(0|2)</math> die <math>y</math>-Achse schneidet. Die Steigung ist <math>2</math>, da man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben gehen kann, um wieder auf die Gerade zu kommen. Die Gleichung der Geraden ist <math>y=2x+2</math>.


<math>2x=-2x+4\ |+2x</math>
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/VPeVCI3rFUQ?si=AetKtWp6hWlI9OTt" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>


<math>4x=\ 4\ |\div4 </math>
===x- und y-Werte einer linearen Funktion berechnen===
Gegeben ist die lineare Funktion <math>f(x)=-2x+1</math>. Für <math>x=-2</math> berechnen wir den Funktionswert durch <math>f(-2)=-2 \cdot (-2) +1 =5</math>. Für den Funktionswert <math>f(x)=-1</math> berechnen wir den <math>x</math>-Wert durch


<math>x=\ 1</math>
<math>f(x)=-2x+1</math>


und Einsetzen von <math>x</math> ergibt
<math>-1=-2x+1 ~|~ -1</math>


<math>f\left(1\right)=2\cdot 1-1=1</math>
<math>-2=-2x~|~:(-2)</math>


Also ist der '''Schnittpunkt''' <math>S\left(1|1\right)</math>
<math>1=x</math>.


==Nullstellen==
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/G9tk7CHKHCA?si=UcqmObFTcXC82LIN" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
'''Nullstellen''' sind die <math>x-Werte</math>, bei denen der Graph die <math>x-Achse</math> schneidet. Für eine lineare Funktion
<math>y=mx+b</math>


wird die Nullstelle berechnet, indem <math>y=0</math> eingesetzt und nach <math>x</math> umgeformt wird:
===Punktprobe durchführen===
Wir betrachten wieder die lineare Funktion <math>f(x)=2x+2</math>. Der Punkt <math>P(2|3)</math> liegt nicht auf der Geraden. Dies kann man auch rechnerisch überprüfen. Setzt man die Koordinaten in die Gleichung der Geraden ein, gilt <math>3\neq2\cdot2+2=6</math>. Die rechnerische Überprüfung, ob ein Punkt auf der Geraden der Funktion liegt, heißt '''Punktprobe'''.


<math>0=mx+b\ |-b</math>
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/c22sCWXvLBU?si=ODhKc53mv3Hargs2" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>


<math>-b=\ mx\ |\  \div m</math>
===Punktsteigungsform ermitteln===
[[Datei:LineareFunktionPunktSteigungsform.png|mini|[[Graph]] von <math>f(x)=1,5x+0</math>]]
Gegeben sind die Punkte <math>P_1(2|3)</math> und <math>P_2(4|6)</math>  dann ist <math>m=\frac{6-3}{4-2}=\frac{3}{2}=1,5</math>. Die Gleichung der Punkt-Steigungs-Form ist:
<math>y=1,5(x-2)+3=1,5x-1,5 \cdot 2+3=1,5x-3+3=1,5x</math>


<math>-\frac{b}{m}=\ x</math>
===y-Achsenabschnitt durch Einsetzen eines Punktes berechnen===
Alternativ können wir b berechnen, indem wir <math>P_1</math> in die Funktion <math>f\left(x\right)=1,5x+b</math> einsetzen:
<math>f\left(x\right)=1,5x+b</math>


===Beispiel Nullstellenberechnung===
<math>3=1,5\cdot 2+b</math>
[[Datei:LineareFunktionNullstelle.png|mini|Graph zur Nullstelle <math>x=\ -\frac{1}{2}</math> der Funktion <math>y=2x+1</math>]]
Gegeben ist die lineare Funktion


<math>f:y=2x+1</math>
<math>3=3+b\ |\ -3 </math>


Setzt man <math>y=0</math> ein, folgt
<math>0=b</math>


<math>0=2x+1\ |-1</math>
Also ist die Funktionsvorschrift <math>f\left(x\right)=1,5x</math>.


<math>-1=\ 2x\ |\  \div2</math>
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/VovlNXfugb8?si=vkEsmsV6SaCXUgKf" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>


<math>-\frac{1}{2}=\ x</math>
===Schnittpunkt ermitteln===
[[Datei:LineareFunktionenSchnittpunkt.png|mini|Schnittpunkt <math>g\left(x\right)=-2x+3</math> von <math>f\left(x\right)=2x-1</math> und <math>g\left(x\right)=-2x+3</math>]]
Gegeben sind die Funktionen <math>f\left(x\right)=2x-1</math> und <math>g\left(x\right)=-2x+3</math>.


Also ist <math>x=\ -\frac{1}{2}</math> die Nullstelle.
Gleichsetzen liefert


===Beispiel lineare Funktion ohne Nullstelle===
<math>2x-1=-2x+3\ |+1</math>
[[Datei:LineareFunktionenKeineNullstelle.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=0x+1</math> die keine Nullstelle hat]]
Gegeben ist die lineare Funktion


<math>f:y=0x+1</math>
<math>2x=-2x+4\ |+2x</math>


Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 1. Berechnen wir die Nullstelle, erhalten wir:
<math>4x=\ 4\ |\div4 </math>


<math>0=0x+1</math>
<math>x=\ 1</math>


<math>0= 1 </math>
und Einsetzen von <math>x</math> ergibt


Das ist ein Widerspruch, da <math>0\neq 1 </math> ist. Die lineare Funktion hat also keine Nullstelle. Dies erkennt man auch am Graphen der Funktion, dieser verläuft parallel zur <math>x</math>-Achse und hat damit keine Nullstellen.
<math>f\left(1\right)=2\cdot 1-1=1</math>


===Beispiel lineare Funktion mit unendlich vielen Nullstellen ===
Also ist der '''Schnittpunkt''' <math>S\left(1|1\right)</math>
[[Datei:LineareFunktionenUnendlichVieleNullstellen.png|mini|Graph von <math>f:y=0x+0</math> mit unendlich vielen Nullstellen]]
Gegeben ist die lineare Funktion


<math>f:y=0x+0</math>
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/Vl1HDpwCOgc?si=y9f9QTZUw5Zsp85l" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>


Die Steigung ist 0 und der y-Achsenabschnitt ist 0. Berechnen wir die Nullstelle, erhalten wir:
===Parallele und orthogonale lineare Funktionen berechnen===
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/VhOcdx_ojEk?si=UKZ5qgkGqAhQldV3" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>


<math>0=0x+0</math>
===[[Graph]] einer linearen Funktion mit Wertetabelle zeichnen===
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/pZy8ephRE3s?si=nWaI_GC-os-IMmOC" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>


<math>0= 0 </math>
[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
 
[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]
Die Aussage ist wahr, also ist jeder <math>x</math>-Wert eine Nullstelle von <math>f</math>. Der Graph verläuft vollständig auf der x-Achse.
[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]
 
===Graph einer linearen Funktion mit Wertetabelle zeichnen===
<html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/pZy8ephRE3s?si=nWaI_GC-os-IMmOC" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
Abgerufen von „https://wiki.flbk-hamm.de/Lineare_Funktion“