Zufallsexperiment: Unterschied zwischen den Versionen

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In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden ~~Zufallsexperimente analysiert und auf Basis von Berechnungen werden Wahrscheinlichkeiten für die unterschiedlichen Ausgänge des Zufallsexperiments angegeben~~. Zufallsexperimente werden ~~mit Hilfe~~ von [[Baumdiagramm|Baumdiagrammen]] visualisiert.

Ein '''Zufallsexperiment''' (auch ''Zufallsversuch'' genannt) ist ein zentraler Grundbegriff der Stochastik und bildet das Fundament der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Es beschreibt einen Vorgang, dessen Ausgang trotz genau definierter Bedingungen nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden kann. Mehrstufige Zufallsexperimente werden häufig mithilfe von [[Baumdiagramm|Baumdiagrammen]] visualisiert.

==Definition==

In der ~~Wahrscheinlichkeitsrechnung bezeichnet ein~~ '''Zufallsexperiment''' ~~einen~~ Versuch~~, der~~ unter genau festgelegten Versuchsbedingungen durchgeführt ~~wird~~ und ~~einen zufälligen Ausgang hat~~. Die möglichen Ausgänge eines ~~Zufallsexperimentes nennt man~~ '''~~Ergebnisse~~'''. ~~Wenn man alle möglichen~~ Ergebnisse ~~eines Zufallsexperimentes~~ in einer [[Menge]] ~~zusammenfasst, erhält man die~~ '''Ergebnismenge'''.

Ein Versuch heißt in der Mathematik genau dann '''Zufallsexperiment''', wenn er die folgenden drei Kriterien erfüllt:

#'''Planmäßigkeit:''' Der Versuch wird unter genau festgelegten und reproduzierbaren Versuchsbedingungen durchgeführt.

#'''Wiederholbarkeit:''' Das Experiment kann – zumindest theoretisch – unter identischen Bedingungen beliebig oft wiederholt werden.

#'''Zufälligkeit:''' Das konkrete Ergebnis einer einzelnen Durchführung ist ungewiss und lässt sich nicht mit Sicherheit vorhersagen. Die Gesamtheit aller prinzipiell möglichen Ausgänge ist jedoch vorab bekannt.

===Ergebnis und Ergebnismenge===

*Ein möglicher Ausgang eines Zufallsexperiments heißt '''Ergebnis''' (oft mit dem Kleinbuchstaben <math>e</math> oder <math>\omega</math> bezeichnet).

*Die Zusammenfassung aller denkbaren Ergebnisse in einer [[Menge]] heißt '''Ergebnismenge''' (oder Stichprobenraum). Die Ergebnismenge wird mit dem griechischen Großbuchstaben <math>\Omega</math> (Omega) oder <math>S</math> bezeichnet:

:<math>\Omega = \{e_1, e_2, \dots, e_n\}</math>

*Die Anzahl der Elemente in der Ergebnismenge wird als Mächtigkeit <math>|\Omega|</math> bezeichnet.

==Zufallsvariable==

~~Kann man den Ergebnissen eines Zufallsexperiments Zahlen zuordnen~~, ~~so nennt man eine Variable für diese Zahlen~~ '''~~Zufallsvariable~~'~~''.~~ Zufallsvariablen werden ~~häufig~~ mit Großbuchstaben ~~abgekürzt~~ (z. B. X).

Häufig interessiert bei einem Zufallsexperiment nicht die verbale Beschreibung des Ergebnisses, sondern ein zugeordneter Zahlenwert (z. B. Augensumme, Gewinnbetrag, Anzahl defekter Bauteile).

Eine [[Zufallsexperiment#Zufallsvariable|Zufallsvariable]] (oder ''Zufallsgröße'') <math>X</math> ist eine mathematische Funktion, die jedem Ergebnis <math>\omega \in \Omega</math> eines Zufallsexperiments eindeutig eine reelle Zahl <math>x \in \mathbb{R}</math> zuordnet:

<math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math>

Zufallsvariablen werden standardmäßig mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet (z. B. <math>X</math>, <math>Y</math>), während die tatsächlich angenommenen Werte mit Kleinbuchstaben (z. B. <math>x_i</math> oder <math>k</math>) notiert werden.

==Ereignis==

~~Ein Zufallsexperiment habe die Ergebnismenge <math>S</math>~~. Jede [[Menge#Teilmenge|Teilmenge]] <math>A</math> ~~von~~ <math>S</math> ~~ist ein~~ '''Ereignis'''. ~~Endet die~~ Durchführung ~~des Zufallsexperiments mit einem~~ Ergebnis ~~aus~~ <math>A</math>~~, so~~ ist ~~das Ereignis~~ <math>A</math> ~~eingetreten~~.

In der Stochastik interessiert man sich oft nicht nur für Einzelergebnisse, sondern dafür, ob der Versuchsausgang eine bestimmte Eigenschaft aufweist.

Jede [[Menge#Teilmenge|Teilmenge]] <math>A</math> der Ergebnismenge <math>\Omega</math> heißt '''Ereignis''' (<math>A \subseteq \Omega</math>). Ein Ereignis <math>A</math> tritt genau dann ein, wenn das bei der Durchführung erzielte Ergebnis ein Element von <math>A</math> ist (<math>\omega \in A</math>).

===Sicheres Ereignis===

~~Sei~~ <math>S</math> ~~die Ergebnismenge eines~~ Zufallsexperiments und ~~<math>E</math> ein Ereignis mit <math>S</math> = <math>E</math>, dann~~ heißt ~~<math>E</math>~~ '''sicheres Ereignis'''.

Das Ereignis <math>\Omega</math> selbst enthält alle überhaupt denkbaren Ergebnisse. Es tritt bei jeder Durchführung des Zufallsexperiments garantiert ein und heißt daher '''sicheres Ereignis'''. Für seine Wahrscheinlichkeit gilt stets:

<math>P(\Omega) = 1</math>

===Unmögliches Ereignis===

~~Das Ereignis~~ <math>F = \~~emptyset~~</math> heißt '''unmögliches Ereignis'''. <math>F</math> ~~enthält also kein Ergebnis und ist damit die [[Menge#Leere_Menge|leere Menge]].~~

Die [[Menge#Leere Menge|leere Menge]] <math>\emptyset = \{\}</math> enthält keinerlei Ergebnisse. Sie kann bei keinem Versuchsausgang eintreten und heißt daher '''unmögliches Ereignis'''. Für ihre Wahrscheinlichkeit gilt:

<math>P(\emptyset) = 0</math>

===Elementarereignis===

~~Gilt~~ <math>G=~~\{{g}_1\}~~</math> ~~bzw.~~ <math>~~|G|~~ = 1</math> ~~für ein Ereignis~~ <math>G</math>~~, so spricht man von einem '''Elementarereignis'''.~~

Ein Ereignis, das aus genau einem einzigen Ergebnis besteht (<math>|E| = 1</math>), heißt '''Elementarereignis''':

<math>E = \{\omega\}</math> mit <math>\omega \in \Omega</math>

===Gegenereignis===

<math>\bar{H}</math> ~~ist das '''~~Gegenereignis~~''' von~~ <math>H</math>~~, d. h~~. ~~es gilt~~ <math>\bar{H}=S\ \~~setminus~~\ H</math> und <math>~~H\cup~~\bar{H}=S</math>.

Das '''Gegenereignis''' <math>\bar{A}</math> (auch Komplementärereignis) zu einem Ereignis <math>A</math> umfasst alle Ergebnisse der Ergebnismenge <math>\Omega</math>, die nicht in <math>A</math> liegen:

<math>\bar{A} = \Omega \setminus A</math>

Das Gegenereignis tritt genau dann ein, wenn <math>A</math> nicht eintritt. Es gelten die Beziehungen:

*<math>A \cup \bar{A} = \Omega</math> (Vereinigung ergibt das sichere Ereignis)

*<math>A \cap \bar{A} = \emptyset</math> (Ereignis und Gegenereignis schließen sich gegenseitig aus)

*<math>P(\bar{A}) = 1 - P(A)</math>

==Beispiele==

~~===Zufallsexperiment Wurf eines Würfels===~~

Ein Würfel mit der Augenzahl von 1 bis 6 wird einmal geworfen und man beobachtet, welche Zahl oben liegt. Es handelt sich hierbei um ein Zufallsexperiment, da der Ausgang zufällig ist und der Versuch unter genau festgelegten Bedingungen stattfindet.

*Die Zufallsvariable <math>X</math> gibt die gewürfelte Augenzahl an. Beispielsweise bedeutet <math>X=3</math>, dass die Augenzahl 3 gewürfelt wurde.

*Ein mögliches Ergebnis: <math>3</math>

*Ergebnismenge: <math>S = \{1;2;3;4;5;6\}</math>

*Ereignis, dass keine 2 oder 3 gewürfelt wurde: <math>E = \{1;4;5;6\}</math>

*Sicheres Ereignis: <math>S</math>

*Unmögliches Ereignis: Es wurde eine 7 gewürfelt.

*Elementarereignis: <math>G=\{1\}</math>

*Gegenereignis zu <math>A = \{1;2\}</math>: <math>\bar{A} = \{3;4;5;6\}</math>

===Zufallsexperiment ~~dreifacher Münzwurf~~===

===Zufallsexperiment: Einmaliger Wurf eines idealen Würfels===

~~Eine Münze~~ wird ~~dreimal~~ geworfen und ~~man beobachtet, in welcher Reihenfolge Zahl (Z) und Kopf (K)~~ oben ~~liegen~~. ~~Es handelt sich hierbei um ein Zufallsexperiment~~, da der ~~Ausgang zufällig~~ ist und ~~der Versuch unter~~ genau ~~festgelegten Bedingungen stattfindet~~.

Ein regelmäßiger sechsseitiger Würfel wird geworfen und die oben liegende Augenzahl erfasst. Die Versuchsbedingungen sind konstant, der Wurf ist beliebig oft wiederholbar und das Ergebnis ist nicht determinierbar.

*~~Ein~~ Ergebnis ~~ist~~ <math>~~ZKZ~~</math>. Es ~~wurde also im ersten Wurf Zahl~~, ~~im zweiten Wurf~~ Kopf und ~~im dritten Wurf~~ Zahl ~~geworfen~~.

*'''Ergebnismenge:''' <math>\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}</math> mit <math>|\Omega| = 6</math>

*Alle ~~möglichen Ergebnisse werden durch die Ergebnismenge~~ <math>S = \{ZZZ; ZZK; ZKZ; ZKK; KZZ; KZK; KKZ; KKK\}</math> ~~beschrieben~~.

*'''Zufallsvariable:''' <math>X</math> gibt die gewürfelte Augenzahl an. Der Ausdruck <math>X = 3</math> beschreibt das Ereignis, dass genau eine 3 fällt.

*~~Das~~ Ereignis~~, dass~~ kein ~~Kopf erscheint, ist~~ <math>A = \{ZZZ\}</math>.

*'''Mögliches Ergebnis:''' <math>\omega = 3</math>

*~~Das~~ Ereignis~~, dass~~ zwei- oder dreimal hintereinander ~~Zahl erscheint, ist~~ <math>B = \{~~ZZK; KZZ~~\}\~~cup \~~{~~ZZZ\~~} =\{~~ZZZ; ZZK;~~ KZZ\}</math>.

*'''Elementarereignis:''' <math>E_1 = \{1\}</math> (Es fällt die Zahl 1)

*<math>S</math> ~~ist dann auch das sichere Ereignis.~~

*'''Zusammengesetztes Ereignis:''' „Es wird keine 2 und keine 3 gewürfelt“ entspricht <math>A = \{1, 4, 5, 6\}</math>

*~~Ein unmögliches~~ Ereignis ~~ist, dass bei jedem Wurf eine Blume kommt.~~

*'''Sicheres Ereignis:''' <math>\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}</math> („Es fällt eine Zahl von 1 bis 6“)

*<math>G=\~~{ZKZ\}~~</math> ~~ist~~ ein ~~Elementarereignis.~~

*'''Unmögliches Ereignis:''' <math>\emptyset</math> (z. B. „Es wird eine 7 gewürfelt“)

*Das Gegenereignis <math>\~~bar~~{~~A}</math> von <math>A =~~ \{ZZZ\}</math> ~~ist~~ <math>\bar{A} =S \~~backslash~~ A=\{~~ZZZ;~~ ZZK; ZKZ; ZKK; KZZ; KZK~~; KKZ; KKK\~~} \~~backslash \~~{~~ZZZ\~~}= \{~~ZZK; ZKZ; ZKK; KZZ; KZK; KKZ;~~ KKK\}</math>.

*'''Gegenereignis:''' Für das Ereignis <math>B = \{1, 2\}</math> („Augenzahl höchstens 2“) lautet das Gegenereignis:

:<math>\bar{B} = \Omega \setminus B = \{3, 4, 5, 6\}</math> („Augenzahl mindestens 3“)

===Zufallsexperiment: Dreifacher Münzwurf===

Eine faire Münze wird dreimal nacheinander geworfen. Es wird notiert, in welcher Reihenfolge Kopf (K) und Zahl (Z) fallen.

*'''Ergebnismenge:''' Alle Kombinationen aus drei Würfen:

:<math>\Omega = \{\mathrm{ZZZ}, \mathrm{ZZK}, \mathrm{ZKZ}, \mathrm{ZKK}, \mathrm{KZZ}, \mathrm{KZK}, \mathrm{KKZ}, \mathrm{KKK}\}</math> mit <math>|\Omega| = 2^3 = 8</math>

*'''Einzelergebnis:''' <math>\omega = \mathrm{ZKZ}</math> (1. Wurf: Zahl, 2. Wurf: Kopf, 3. Wurf: Zahl)

*'''Elementarereignis:''' <math>E = \{\mathrm{ZKZ}\}</math>

*'''Ereignis:''' „Es fällt kein einziger Kopf“ entspricht <math>A = \{\mathrm{ZZZ}\}</math>

*'''Zusammengesetztes Ereignis:''' „Es fällt zwei- oder dreimal hintereinander Zahl“:

:<math>B = \{\mathrm{ZZZ}, \mathrm{ZZK}, \mathrm{KZZ}\}</math>

*'''Sicheres Ereignis:''' <math>\Omega</math> („Bei allen drei Würfen fällt jeweils Kopf oder Zahl“)

*'''Unmögliches Ereignis:''' <math>\emptyset</math> (z. B. „Die Münze zeigt ein Symbol, das weder Kopf noch Zahl ist“)

*'''Gegenereignis:''' Das Gegenereignis zu <math>A = \{\mathrm{ZZZ}\}</math> („Kein Kopf“) bedeutet inhaltlich „Mindestens einmal Kopf“:

:<math>\bar{A} = \Omega \setminus A = \{\mathrm{ZZK}, \mathrm{ZKZ}, \mathrm{ZKK}, \mathrm{KZZ}, \mathrm{KZK}, \mathrm{KKZ}, \mathrm{KKK}\}</math>

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

[[Kategorie:~~Fachabitur~~]]

[[Kategorie:FHR WuV Mathe]]

[[Kategorie:AHR WuV Mathe GK]]

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-In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Zufallsexperimente analysiert und auf Basis von Berechnungen werden Wahrscheinlichkeiten für die unterschiedlichen Ausgänge des Zufallsexperiments angegeben. Zufallsexperimente werden mit Hilfe von [[Baumdiagramm|Baumdiagrammen]] visualisiert.
+Ein '''Zufallsexperiment''' (auch ''Zufallsversuch'' genannt) ist ein zentraler Grundbegriff der Stochastik und bildet das Fundament der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Es beschreibt einen Vorgang, dessen Ausgang trotz genau definierter Bedingungen nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden kann. Mehrstufige Zufallsexperimente werden häufig mithilfe von [[Baumdiagramm|Baumdiagrammen]] visualisiert.
 ==Definition==
-In der Wahrscheinlichkeitsrechnung bezeichnet ein '''Zufallsexperiment''' einen Versuch, der unter genau festgelegten Versuchsbedingungen durchgeführt wird und einen zufälligen Ausgang hat. Die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperimentes nennt man '''Ergebnisse'''. Wenn man alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes in einer [[Menge]] zusammenfasst, erhält man die '''Ergebnismenge'''.
+Ein Versuch heißt in der Mathematik genau dann '''Zufallsexperiment''', wenn er die folgenden drei Kriterien erfüllt:
+#'''Planmäßigkeit:''' Der Versuch wird unter genau festgelegten und reproduzierbaren Versuchsbedingungen durchgeführt.
+#'''Wiederholbarkeit:''' Das Experiment kann – zumindest theoretisch – unter identischen Bedingungen beliebig oft wiederholt werden.
+#'''Zufälligkeit:''' Das konkrete Ergebnis einer einzelnen Durchführung ist ungewiss und lässt sich nicht mit Sicherheit vorhersagen. Die Gesamtheit aller prinzipiell möglichen Ausgänge ist jedoch vorab bekannt.
+===Ergebnis und Ergebnismenge===
+*Ein möglicher Ausgang eines Zufallsexperiments heißt '''Ergebnis''' (oft mit dem Kleinbuchstaben <math>e</math> oder <math>\omega</math> bezeichnet).
+*Die Zusammenfassung aller denkbaren Ergebnisse in einer [[Menge]] heißt '''Ergebnismenge''' (oder Stichprobenraum). Die Ergebnismenge wird mit dem griechischen Großbuchstaben <math>\Omega</math> (Omega) oder <math>S</math> bezeichnet:
+:<math>\Omega = \{e_1, e_2, \dots, e_n\}</math>
+*Die Anzahl der Elemente in der Ergebnismenge wird als Mächtigkeit <math>|\Omega|</math> bezeichnet.
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 ==Zufallsvariable==
-Kann man den Ergebnissen eines Zufallsexperiments Zahlen zuordnen, so nennt man eine Variable für diese Zahlen '''Zufallsvariable'''. Zufallsvariablen werden häufig mit Großbuchstaben abgekürzt (z. B. X).
+Häufig interessiert bei einem Zufallsexperiment nicht die verbale Beschreibung des Ergebnisses, sondern ein zugeordneter Zahlenwert (z. B. Augensumme, Gewinnbetrag, Anzahl defekter Bauteile).
+Eine [[Zufallsexperiment#Zufallsvariable|Zufallsvariable]] (oder ''Zufallsgröße'') <math>X</math> ist eine mathematische Funktion, die jedem Ergebnis <math>\omega \in \Omega</math> eines Zufallsexperiments eindeutig eine reelle Zahl <math>x \in \mathbb{R}</math> zuordnet:
+<math>X: \Omega \to \mathbb{R}</math>
+Zufallsvariablen werden standardmäßig mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet (z. B. <math>X</math>, <math>Y</math>), während die tatsächlich angenommenen Werte mit Kleinbuchstaben (z. B. <math>x_i</math> oder <math>k</math>) notiert werden.
 ==Ereignis==
-Ein Zufallsexperiment habe die Ergebnismenge <math>S</math>. Jede [[Menge#Teilmenge|Teilmenge]] <math>A</math> von <math>S</math> ist ein '''Ereignis'''. Endet die Durchführung des Zufallsexperiments mit einem Ergebnis aus <math>A</math>, so ist das Ereignis <math>A</math> eingetreten.
+In der Stochastik interessiert man sich oft nicht nur für Einzelergebnisse, sondern dafür, ob der Versuchsausgang eine bestimmte Eigenschaft aufweist.
+Jede [[Menge#Teilmenge|Teilmenge]] <math>A</math> der Ergebnismenge <math>\Omega</math> heißt '''Ereignis''' (<math>A \subseteq \Omega</math>). Ein Ereignis <math>A</math> tritt genau dann ein, wenn das bei der Durchführung erzielte Ergebnis ein Element von <math>A</math> ist (<math>\omega \in A</math>).
 ===Sicheres Ereignis===
-Sei <math>S</math> die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments und <math>E</math> ein Ereignis mit <math>S</math> = <math>E</math>, dann heißt <math>E</math> '''sicheres Ereignis'''.
+Das Ereignis <math>\Omega</math> selbst enthält alle überhaupt denkbaren Ergebnisse. Es tritt bei jeder Durchführung des Zufallsexperiments garantiert ein und heißt daher '''sicheres Ereignis'''. Für seine Wahrscheinlichkeit gilt stets:
+<math>P(\Omega) = 1</math>
 ===Unmögliches Ereignis===
-Das Ereignis <math>F = \emptyset</math>  heißt '''unmögliches Ereignis'''. <math>F</math> enthält also kein Ergebnis und ist damit die [[Menge#Leere_Menge|leere Menge]].
+Die [[Menge#Leere Menge|leere Menge]] <math>\emptyset = \{\}</math> enthält keinerlei Ergebnisse. Sie kann bei keinem Versuchsausgang eintreten und heißt daher '''unmögliches Ereignis'''. Für ihre Wahrscheinlichkeit gilt:
+<math>P(\emptyset) = 0</math>
 ===Elementarereignis===
-Gilt <math>G=\{{g}_1\}</math> bzw. <math>|G| = 1</math> für ein Ereignis <math>G</math>, so spricht man von einem '''Elementarereignis'''.
+Ein Ereignis, das aus genau einem einzigen Ergebnis besteht (<math>|E| = 1</math>), heißt '''Elementarereignis''':
+<math>E = \{\omega\}</math> mit <math>\omega \in \Omega</math>
 ===Gegenereignis===
-<math>\bar{H}</math> ist das '''Gegenereignis''' von <math>H</math>, d. h. es gilt <math>\bar{H}=S\ \setminus\ H</math> und <math>H\cup\bar{H}=S</math>.
+Das '''Gegenereignis''' <math>\bar{A}</math> (auch Komplementärereignis) zu einem Ereignis <math>A</math> umfasst alle Ergebnisse der Ergebnismenge <math>\Omega</math>, die nicht in <math>A</math> liegen:
+<math>\bar{A} = \Omega \setminus A</math>
+Das Gegenereignis tritt genau dann ein, wenn <math>A</math> nicht eintritt. Es gelten die Beziehungen:
+*<math>A \cup \bar{A} = \Omega</math> (Vereinigung ergibt das sichere Ereignis)
+*<math>A \cap \bar{A} = \emptyset</math> (Ereignis und Gegenereignis schließen sich gegenseitig aus)
+*<math>P(\bar{A}) = 1 - P(A)</math>
 ==Beispiele==
-===Zufallsexperiment Wurf eines Würfels===
-Ein Würfel mit der Augenzahl von 1 bis 6 wird einmal geworfen und man beobachtet, welche Zahl oben liegt. Es handelt sich hierbei um ein Zufallsexperiment, da der Ausgang zufällig ist und der Versuch unter genau festgelegten Bedingungen stattfindet.
-*Die Zufallsvariable <math>X</math> gibt die gewürfelte Augenzahl an. Beispielsweise bedeutet <math>X=3</math>, dass die Augenzahl 3 gewürfelt wurde.
-*Ein mögliches Ergebnis: <math>3</math>
-*Ergebnismenge: <math>S = \{1;2;3;4;5;6\}</math>
-*Ereignis, dass keine 2 oder 3 gewürfelt wurde: <math>E = \{1;4;5;6\}</math>
-*Sicheres Ereignis: <math>S</math>
-*Unmögliches Ereignis: Es wurde eine 7 gewürfelt.
-*Elementarereignis: <math>G=\{1\}</math>
-*Gegenereignis zu <math>A = \{1;2\}</math>: <math>\bar{A} = \{3;4;5;6\}</math>
-===Zufallsexperiment dreifacher Münzwurf===
+===Zufallsexperiment: Einmaliger Wurf eines idealen Würfels===
-Eine Münze wird dreimal geworfen und man beobachtet, in welcher Reihenfolge Zahl (Z) und Kopf (K) oben liegen. Es handelt sich hierbei um ein Zufallsexperiment, da der Ausgang zufällig ist und der Versuch unter genau festgelegten Bedingungen stattfindet.
+Ein regelmäßiger sechsseitiger Würfel wird geworfen und die oben liegende Augenzahl erfasst. Die Versuchsbedingungen sind konstant, der Wurf ist beliebig oft wiederholbar und das Ergebnis ist nicht determinierbar.
-*Ein Ergebnis ist <math>ZKZ</math>. Es wurde also im ersten Wurf Zahl, im zweiten Wurf Kopf und im dritten Wurf Zahl geworfen.
+*'''Ergebnismenge:''' <math>\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}</math> mit <math>|\Omega| = 6</math>
-*Alle möglichen Ergebnisse werden durch die Ergebnismenge <math>S = \{ZZZ; ZZK; ZKZ; ZKK; KZZ; KZK; KKZ; KKK\}</math> beschrieben.
+*'''Zufallsvariable:''' <math>X</math> gibt die gewürfelte Augenzahl an. Der Ausdruck <math>X = 3</math> beschreibt das Ereignis, dass genau eine 3 fällt.
-*Das Ereignis, dass kein Kopf erscheint, ist <math>A = \{ZZZ\}</math>.
+*'''Mögliches Ergebnis:''' <math>\omega = 3</math>
-*Das Ereignis, dass zwei- oder dreimal hintereinander Zahl erscheint, ist <math>B = \{ZZK; KZZ\}\cup \{ZZZ\} =\{ZZZ; ZZK; KZZ\}</math>.
+*'''Elementarereignis:''' <math>E_1 = \{1\}</math> (Es fällt die Zahl 1)
-*<math>S</math> ist dann auch das sichere Ereignis.
+*'''Zusammengesetztes Ereignis:''' „Es wird keine 2 und keine 3 gewürfelt“ entspricht <math>A = \{1, 4, 5, 6\}</math>
-*Ein unmögliches Ereignis ist, dass bei jedem Wurf eine Blume kommt.
+*'''Sicheres Ereignis:''' <math>\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}</math> („Es fällt eine Zahl von 1 bis 6“)
-*<math>G=\{ZKZ\}</math> ist ein Elementarereignis.
+*'''Unmögliches Ereignis:''' <math>\emptyset</math> (z. B. „Es wird eine 7 gewürfelt“)
-*Das Gegenereignis <math>\bar{A}</math> von <math>A = \{ZZZ\}</math> ist <math>\bar{A} =S \backslash A=\{ZZZ; ZZK; ZKZ; ZKK; KZZ; KZK; KKZ; KKK\} \backslash \{ZZZ\}= \{ZZK; ZKZ; ZKK; KZZ; KZK; KKZ; KKK\}</math>.
+*'''Gegenereignis:''' Für das Ereignis <math>B = \{1, 2\}</math> („Augenzahl höchstens 2“) lautet das Gegenereignis:
+:<math>\bar{B} = \Omega \setminus B = \{3, 4, 5, 6\}</math> („Augenzahl mindestens 3“)
+===Zufallsexperiment: Dreifacher Münzwurf===
+Eine faire Münze wird dreimal nacheinander geworfen. Es wird notiert, in welcher Reihenfolge Kopf (K) und Zahl (Z) fallen.
+*'''Ergebnismenge:''' Alle Kombinationen aus drei Würfen:
+:<math>\Omega = \{\mathrm{ZZZ}, \mathrm{ZZK}, \mathrm{ZKZ}, \mathrm{ZKK}, \mathrm{KZZ}, \mathrm{KZK}, \mathrm{KKZ}, \mathrm{KKK}\}</math> mit <math>|\Omega| = 2^3 = 8</math>
+*'''Einzelergebnis:''' <math>\omega = \mathrm{ZKZ}</math> (1. Wurf: Zahl, 2. Wurf: Kopf, 3. Wurf: Zahl)
+*'''Elementarereignis:''' <math>E = \{\mathrm{ZKZ}\}</math>
+*'''Ereignis:''' „Es fällt kein einziger Kopf“ entspricht <math>A = \{\mathrm{ZZZ}\}</math>
+*'''Zusammengesetztes Ereignis:''' „Es fällt zwei- oder dreimal hintereinander Zahl“:
+:<math>B = \{\mathrm{ZZZ}, \mathrm{ZZK}, \mathrm{KZZ}\}</math>
+*'''Sicheres Ereignis:''' <math>\Omega</math> („Bei allen drei Würfen fällt jeweils Kopf oder Zahl“)
+*'''Unmögliches Ereignis:''' <math>\emptyset</math> (z. B. „Die Münze zeigt ein Symbol, das weder Kopf noch Zahl ist“)
+*'''Gegenereignis:''' Das Gegenereignis zu <math>A = \{\mathrm{ZZZ}\}</math> („Kein Kopf“) bedeutet inhaltlich „Mindestens einmal Kopf“:
+:<math>\bar{A} = \Omega \setminus A = \{\mathrm{ZZK}, \mathrm{ZKZ}, \mathrm{ZKK}, \mathrm{KZZ}, \mathrm{KZK}, \mathrm{KKZ}, \mathrm{KKK}\}</math>
 [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
-[[Kategorie:Fachabitur]]
+[[Kategorie:FHR WuV Mathe]]
+[[Kategorie:AHR WuV Mathe GK]]

Zufallsexperiment: Unterschied zwischen den Versionen

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