Wahrscheinlichkeitsverteilung: Unterschied zwischen den Versionen

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Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für ein [[Zufallsexperiment]] ordnet den Ergebnissen eine Wahrscheinlichkeit zu. Sie wird häufig durch ein [[Histogramm]] visualisiert.

==Definition==

Es sei <math>S=\{e_1;...;e_n\}</math> die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments und <math>A</math> ein Ereignis. Die Zahlen <math>P~~\left~~(e_i\~~right)~~</math> mit

Es sei <math>S=\{e_1;...;e_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>A</math> ein [[Zufallsexperiment#Ereignis|Ereignis]]. Die Zahlen <math>P(e_i) \in \mathbb{R}</math> mit

1. <math>0 \leq P(e_i) \leq 1</math> für alle <math>i \in \mathbb{N}</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>

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2. <math>P\left(S\right)=P\left(e_1\right)+\ldots+P\left(e_n\right)\mathrm{\ =1}</math>

3. <math>P~~\left~~(A~~\right~~)=\~~sum_~~{e\~~in A~~} P\~~left(e~~\~~right)~~</math>

3. <math>P(A)=P(e_1)+P(e_2)+...+P(e_m)</math> mit <math>A=\{e_1,e_2,...,e_m \}</math> und <math>m \in \mathbb{N}</math>

nennt man die '''Wahrscheinlichkeit''' des Ergebnisses <math>e_i</math> für <math>i,n\ \in\mathbb{N}</math> mit <math>1\ \leq i\ \leq n</math>. Die ~~Zuordnung~~

nennt man die '''Wahrscheinlichkeit''' des Ergebnisses <math>e_i</math> für <math>i,n\ \in\mathbb{N}</math> mit <math>1\ \leq i\ \leq n</math>. Die [[Funktion]]

<math>~~e_i\mapsto~~ P\~~left(e_i~~\~~right)~~</math> heißt '''Wahrscheinlichkeitsverteilung'''.

<math>P:S\rightarrow \mathbb{R}</math> heißt '''Wahrscheinlichkeitsverteilung'''.

==Schreibweisen für Wahrscheinlichkeiten==

Es sei <math>X</math> eine [[Zufallsexperiment#Zufallsvariable|Zufallsvariable]]. Es gelten die folgenden Konventionen:

Es sei <math>X</math> eine [[Zufallsexperiment#Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k \in \mathbb{N}</math>. Es gelten die folgenden Konventionen:

* <math>P(X=k)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable den Wert k annimmt.

* <math>P(X=k)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable den Wert <math>k</math> annimmt.

* <math>P~~\left~~(X\leq k~~\right~~)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich k annimmt.

* <math>P(X\leq k)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich <math>k</math> annimmt.

* <math>P(X < k)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner k annimmt.

* <math>P(X < k)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner <math>k</math> annimmt.

* <math>P~~\left~~(X\geq k~~\right~~)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert größer oder gleich k annimmt.

* <math>P(X\geq k)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert größer oder gleich <math>k</math> annimmt.

* <math>P(X > k)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert größer k annimmt.

* <math>P(X > k)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert größer <math>k</math> annimmt.

Es gilt: <math>P~~\left~~(X\le k~~\right~~)=1-P~~\left~~(X>k~~\right~~)~~, ~~~P~~\left~~(X\geq k~~\right~~)=1-P~~\left~~(X<k~~\right~~),~ P~~\left~~(X\geq k~~\right~~)=1-P~~\left~~(X\le k)+P(X=k\~~right~~)</math>

Außerdem gilt

* <math>P(X\le k)=1-P(X>k)</math>

* <math>P(X\geq k)=1-P(X<k)</math>

* <math> P(X\geq k)=1-P(X\le k)+P(X=k)</math>

==Wahrscheinlichkeiten für Mengen berechnen==

Für ein [[Zufallsexperiment]] sei <math>P</math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und <math>A,~ B</math> seien [[Zufallsexperiment#Ereignis|Ereignisse]]. Dann gilt:

und

==Beispiele==

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===Wahrscheinlichkeitsverteilung einmaliger Wurf eines Würfels===

Die [[Zufallsexperiment#Zufallsvariable|Zufallsvariable]] <math>X</math> gibt die gewürfelte Augenzahl an. Beispielsweise bedeutet<math>X=3</math>, dass die Augenzahl 3 gewürfelt wurde. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann durch <math>P(X=k)=\frac{1}{6}</math> mit <math>k \in \{1;...;6\}</math> gegeben.

Die [[Zufallsexperiment#Zufallsvariable|Zufallsvariable]] <math>X</math> gibt die gewürfelte Augenzahl an. Beispielsweise bedeutet <math>X=3</math>, dass die Augenzahl 3 gewürfelt wurde. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann durch <math>P(X=k)=\frac{1}{6}</math> mit <math>k \in \{1;...;6\}</math> gegeben.

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

[[Kategorie:~~Fachabitur~~]]

[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

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+Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für ein [[Zufallsexperiment]] ordnet den Ergebnissen eine Wahrscheinlichkeit zu. Sie wird häufig durch ein [[Histogramm]] visualisiert.
 ==Definition==
-Es sei <math>S=\{e_1;...;e_n\}</math> die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments und <math>A</math> ein Ereignis. Die Zahlen <math>P\left(e_i\right)</math> mit
+Es sei <math>S=\{e_1;...;e_n\}</math> die [[Zufallsexperiment#Definition|Ergebnismenge]] eines [[Zufallsexperiment#Definition|Zufallsexperiments]] mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>A</math> ein [[Zufallsexperiment#Ereignis|Ereignis]]. Die Zahlen <math>P(e_i) \in \mathbb{R}</math> mit
 . <math>0 \leq P(e_i) \leq 1</math> für alle <math>i \in \mathbb{N}</math> mit <math>1 \leq i \leq n</math>
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 . <math>P\left(S\right)=P\left(e_1\right)+\ldots+P\left(e_n\right)\mathrm{\ =1}</math>
-. <math>P\left(A\right)=\sum_{e\in A} P\left(e\right)</math>
+. <math>P(A)=P(e_1)+P(e_2)+...+P(e_m)</math> mit <math>A=\{e_1,e_2,...,e_m \}</math> und <math>m \in \mathbb{N}</math>
-nennt man die '''Wahrscheinlichkeit''' des Ergebnisses <math>e_i</math> für <math>i,n\ \in\mathbb{N}</math> mit <math>1\ \leq i\ \leq n</math>. Die Zuordnung
+nennt man die '''Wahrscheinlichkeit''' des Ergebnisses <math>e_i</math> für <math>i,n\ \in\mathbb{N}</math> mit <math>1\ \leq i\ \leq n</math>. Die [[Funktion]]
-<math>e_i\mapsto P\left(e_i\right)</math> heißt '''Wahrscheinlichkeitsverteilung'''.
+<math>P:S\rightarrow \mathbb{R}</math> heißt '''Wahrscheinlichkeitsverteilung'''.
 <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/oLQNzQdOtsg?si=LcXSE3NZ91ikQIRr" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
 ==Schreibweisen für Wahrscheinlichkeiten==
-Es sei <math>X</math> eine [[Zufallsexperiment#Zufallsvariable|Zufallsvariable]]. Es gelten die folgenden Konventionen:
+Es sei <math>X</math> eine [[Zufallsexperiment#Zufallsvariable|Zufallsvariable]] und <math>k \in \mathbb{N}</math>. Es gelten die folgenden Konventionen:
-* <math>P(X=k)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable den Wert k annimmt.
+* <math>P(X=k)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable den Wert <math>k</math> annimmt.
-* <math>P\left(X\leq k\right)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich k annimmt.
+* <math>P(X\leq k)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich <math>k</math> annimmt.
-* <math>P(X < k)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner k annimmt.
+* <math>P(X < k)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner <math>k</math> annimmt.
-* <math>P\left(X\geq k\right)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert größer oder gleich k annimmt.
+* <math>P(X\geq k)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert größer oder gleich <math>k</math> annimmt.
-* <math>P(X > k)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert größer k annimmt.
+* <math>P(X > k)</math> bezeichnet die die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert größer <math>k</math> annimmt.
-Es gilt: <math>P\left(X\le k\right)=1-P\left(X>k\right), ~P\left(X\geq k\right)=1-P\left(X<k\right),~ P\left(X\geq k\right)=1-P\left(X\le k)+P(X=k\right)</math>
+Außerdem gilt
+* <math>P(X\le k)=1-P(X>k)</math>
+* <math>P(X\geq k)=1-P(X<k)</math>
+* <math> P(X\geq k)=1-P(X\le k)+P(X=k)</math>
+==Wahrscheinlichkeiten für Mengen berechnen==
+Für ein [[Zufallsexperiment]] sei <math>P</math> eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und <math>A,~ B</math> seien [[Zufallsexperiment#Ereignis|Ereignisse]]. Dann gilt:
+<math>P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)</math>
+und
+<math>P(A \cup B)=P(A)\ +P(B)-P(A\cap B)</math>
 ==Beispiele==
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 ===Wahrscheinlichkeitsverteilung einmaliger Wurf eines Würfels===
-Die [[Zufallsexperiment#Zufallsvariable|Zufallsvariable]] <math>X</math> gibt die gewürfelte Augenzahl an. Beispielsweise bedeutet<math>X=3</math>, dass die Augenzahl 3 gewürfelt wurde. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann durch <math>P(X=k)=\frac{1}{6}</math> mit <math>k \in \{1;...;6\}</math> gegeben.
+Die [[Zufallsexperiment#Zufallsvariable|Zufallsvariable]] <math>X</math> gibt die gewürfelte Augenzahl an. Beispielsweise bedeutet <math>X=3</math>, dass die Augenzahl 3 gewürfelt wurde. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann durch <math>P(X=k)=\frac{1}{6}</math> mit <math>k \in \{1;...;6\}</math> gegeben.
 [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
-[[Kategorie:Fachabitur]]
+[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]
+[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]