Varianz (Statistik): Unterschied zwischen den Versionen

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Wurden [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|Merkmalsausprägungen]] zu einem [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|quantitativen Merkmal]] erhoben, ~~dann~~ ist die ~~Summe der Merkmalsausprägungen geteilt durch den Erhebungsumfang~~ das arithmetische Mittel ~~oder umgangssprachlich~~ der ~~Durchschnitt~~.

Wurden [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|Merkmalsausprägungen]] zu einem [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|quantitativen Merkmal]] erhoben, ist die Varianz das arithmetische Mittel der quadrierten Abweichungen der Merkmalsausprägungen vom Mittelwert. Die Varianz quantifiziert also, wie stark die einzelnen Datenpunkte im Datensatz um den Mittelwert streuen.

==Definition==

Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und dem [[Arithmetisches_Mittel|arithmetischen Mittel]] <math>\bar{x}</math> gegeben, dann heißt <math>s^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_1-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^n}{n}</math> '''Varianz'''.

Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und dem [[Arithmetisches_Mittel|arithmetischen Mittel]] <math>\bar{x}</math> gegeben, dann heißt <math>s^2=\frac{(x_1-\bar{x})^1+(x_1-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^n}{n}</math> '''Varianz'''.

==Varianz und Häufigkeiten==

Es sei <math>a_i</math> die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung <math>x_i</math> eines quantitativen Merkmals mit <math>n,a_i\in\mathbb{N}</math>, <math>i \in \{1,...,n\}</math>, <math>x_i \in \mathbb{R}</math> und <math>\bar{x}</math> das [[Arithmetisches_Mittel|arithmetische Mittel]]. Der Erhebungsumfang ist <math>n</math>. Der Wert <math>s^2=\frac{a_1\cdot (x_1-\bar{x})^2+a_2 \cdot (x_1-\bar{x})^2+...+a_n \cdot (x_n-\bar{x})^n}{n}</math> heißt '''Varianz'''.

Es sei <math>a_i</math> die [[H%C3%A4ufigkeit#Definition|absolute Häufigkeit]] der [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|Merkmalsausprägung]] <math>x_i</math> eines [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|quantitativen Merkmals]] mit <math>n,a_i\in\mathbb{N}</math>, <math>i \in \{1,...,n\}</math>, <math>x_i \in \mathbb{R}</math> und <math>\bar{x}</math> das [[Arithmetisches_Mittel|arithmetische Mittel]]. Der [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|Erhebungsumfang]] ist <math>n</math>. Der Wert <math>s^2=\frac{a_1\cdot (x_1-\bar{x})^2+a_2 \cdot (x_1-\bar{x})^2+...+a_n \cdot (x_n-\bar{x})^n}{n}</math> heißt '''Varianz'''.

==Standardabweichung==

Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und der Varianz <math>s^2</math> gegeben, dann heißt <math>s=\sqrt{s^2}</math> '''Standardabweichung'''.

==Beispiele==

===Varianz berechnen===

===Varianz und Standardabweichung berechnen===

Die folgende Tabelle zeigt ein Beispiel für eine Urliste. Die Stichprobe besteht aus den betrachteten Schülern. Es wird für das quantitative Merkmal Körpergröße in cm ~~wird das arithmetische Mittel~~ berechnet.

Die folgende Tabelle zeigt ein Beispiel für eine [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|Urliste]]. Die [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|Stichprobe]] besteht aus den betrachteten Schülern. Es wird für das [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|quantitative Merkmal]] Körpergröße in cm die Varianz berechnet.

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#Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x}=\frac{183+ 172+ 163+ 154+ 158+ 166+ 177+ 188+ 190}{9}\approx172,33</math>

#Die Varianz ist <math>s^2=\frac{(183-172,33)^2+(172-172,33)^2+(163-172,33)^2+(154-172,33)^2+(158-172,33)^2+(166-172,33)^2+(177-172,33)^2+(188-172,33)^2+(190-172,33)^2}{9}\approx 151,23</math>

#Die Standardabweichung ist <math>s=\sqrt{151,23} \approx 12,29</math>

===~~Arithmetisches Mittel~~ mit Häufigkeiten berechnen===

===Varianz und Standardabweichung mit Häufigkeiten berechnen===

Fügen wir noch einen 10. Schüler mit der Körpergröße 154 cm hinzu, so erhalten wir die folgende Urliste:

{| class="wikitable"

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#Die absoluten Häufigkeiten der restlichen Merkmalsausprägungen sind 1, da jede andere Körpergröße nur genau einmal vorkommt.

#Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x}=\frac{183+ 172+ 163+ 154+ 158+ 166+ 177+ 188+ 190 + 2 \cdot 154}{10} = 170,5</math>

#Die Varianz ist <math>s^2=\frac{(~~183~~-170,5)^2+(~~172~~-170,5)^2+(~~163~~-170,5)^2+(~~154~~-170,5)^2+(158-170,5)^2+(166-170,5)^2+(177-170,5)^2+(188-170,5)^2+(190-170,5)^2+(190-170,5)^2}{10} =177,25</math>

#Die Varianz ist <math>s^2=\frac{2 \cdot (154-170,5)^2+(183-170,5)^2+(172-170,5)^2+(163-170,5)^2+(158-170,5)^2+(166-170,5)^2+(177-170,5)^2+(188-170,5)^2+(190-170,5)^2+(190-170,5)^2}{10} =177,25</math>

#Die Standardabweichung ist <math>s=\sqrt{177,25} \approx 13,31</math>

Die Abweichung vom Mittelwert ist in diesem Beispiel größer als zuvor. Die Körpergrößen der Schüler weisen also eine höhere Streuung auf.

[[Kategorie:Statistik]]

[[Kategorie:~~Fachabitur~~]]

[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]

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-Wurden [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|Merkmalsausprägungen]] zu einem [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|quantitativen Merkmal]] erhoben, dann ist die Summe der Merkmalsausprägungen geteilt durch den Erhebungsumfang das arithmetische Mittel oder umgangssprachlich der Durchschnitt.
+Wurden [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|Merkmalsausprägungen]] zu einem [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|quantitativen Merkmal]] erhoben, ist die Varianz das arithmetische Mittel der quadrierten Abweichungen der Merkmalsausprägungen vom Mittelwert. Die Varianz quantifiziert also, wie stark die einzelnen Datenpunkte im Datensatz um den Mittelwert streuen.
 ==Definition==
-Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und dem [[Arithmetisches_Mittel|arithmetischen Mittel]] <math>\bar{x}</math> gegeben, dann heißt <math>s^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_1-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^n}{n}</math> '''Varianz'''.
+Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und dem [[Arithmetisches_Mittel|arithmetischen Mittel]] <math>\bar{x}</math> gegeben, dann heißt <math>s^2=\frac{(x_1-\bar{x})^1+(x_1-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^n}{n}</math> '''Varianz'''.
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 ==Varianz und Häufigkeiten==
-Es sei <math>a_i</math> die absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung <math>x_i</math> eines quantitativen Merkmals mit <math>n,a_i\in\mathbb{N}</math>, <math>i \in \{1,...,n\}</math>, <math>x_i \in \mathbb{R}</math> und <math>\bar{x}</math> das [[Arithmetisches_Mittel|arithmetische Mittel]]. Der Erhebungsumfang ist <math>n</math>. Der Wert <math>s^2=\frac{a_1\cdot (x_1-\bar{x})^2+a_2 \cdot (x_1-\bar{x})^2+...+a_n \cdot (x_n-\bar{x})^n}{n}</math> heißt '''Varianz'''.
+Es sei <math>a_i</math> die [[H%C3%A4ufigkeit#Definition|absolute Häufigkeit]] der [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|Merkmalsausprägung]] <math>x_i</math> eines [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|quantitativen Merkmals]] mit <math>n,a_i\in\mathbb{N}</math>, <math>i \in \{1,...,n\}</math>, <math>x_i \in \mathbb{R}</math> und <math>\bar{x}</math> das [[Arithmetisches_Mittel|arithmetische Mittel]]. Der [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|Erhebungsumfang]] ist <math>n</math>. Der Wert <math>s^2=\frac{a_1\cdot (x_1-\bar{x})^2+a_2 \cdot (x_1-\bar{x})^2+...+a_n \cdot (x_n-\bar{x})^n}{n}</math> heißt '''Varianz'''.
+==Standardabweichung==
+Es sei eine Zahlenfolge <math>x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und der Varianz <math>s^2</math> gegeben, dann heißt <math>s=\sqrt{s^2}</math> '''Standardabweichung'''.
 ==Beispiele==
-===Varianz berechnen===
+===Varianz und Standardabweichung berechnen===
-Die folgende Tabelle zeigt ein Beispiel für eine Urliste. Die Stichprobe besteht aus den betrachteten Schülern. Es wird für das quantitative Merkmal Körpergröße in cm wird das arithmetische Mittel berechnet.
+Die folgende Tabelle zeigt ein Beispiel für eine [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|Urliste]]. Die [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|Stichprobe]] besteht aus den betrachteten Schülern. Es wird für das [[H%C3%A4ufigkeit#Statistische_Begriffe|quantitative Merkmal]] Körpergröße in cm die Varianz berechnet.
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 #Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x}=\frac{183+ 172+ 163+ 154+ 158+ 166+ 177+ 188+ 190}{9}\approx172,33</math>
 #Die Varianz ist <math>s^2=\frac{(183-172,33)^2+(172-172,33)^2+(163-172,33)^2+(154-172,33)^2+(158-172,33)^2+(166-172,33)^2+(177-172,33)^2+(188-172,33)^2+(190-172,33)^2}{9}\approx 151,23</math>
+#Die Standardabweichung ist <math>s=\sqrt{151,23} \approx 12,29</math>
-===Arithmetisches Mittel mit Häufigkeiten berechnen===
+===Varianz und Standardabweichung mit Häufigkeiten berechnen===
 Fügen wir noch einen 10. Schüler mit der Körpergröße 154 cm hinzu, so erhalten wir die folgende Urliste:
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 #Die absoluten Häufigkeiten der restlichen Merkmalsausprägungen sind 1, da jede andere Körpergröße nur genau einmal vorkommt.
 #Das arithmetische Mittel ist <math>\bar{x}=\frac{183+ 172+ 163+ 154+ 158+ 166+ 177+ 188+ 190 + 2 \cdot 154}{10} = 170,5</math>
-#Die Varianz ist <math>s^2=\frac{(183-170,5)^2+(172-170,5)^2+(163-170,5)^2+(154-170,5)^2+(158-170,5)^2+(166-170,5)^2+(177-170,5)^2+(188-170,5)^2+(190-170,5)^2+(190-170,5)^2}{10} =177,25</math>
+#Die Varianz ist <math>s^2=\frac{2 \cdot (154-170,5)^2+(183-170,5)^2+(172-170,5)^2+(163-170,5)^2+(158-170,5)^2+(166-170,5)^2+(177-170,5)^2+(188-170,5)^2+(190-170,5)^2+(190-170,5)^2}{10} =177,25</math>
+#Die Standardabweichung ist <math>s=\sqrt{177,25} \approx 13,31</math>
 Die Abweichung vom Mittelwert ist in diesem Beispiel größer als zuvor. Die Körpergrößen der Schüler weisen also eine höhere Streuung auf.
 [[Kategorie:Statistik]]
-[[Kategorie:Fachabitur]]
+[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]
+[[Kategorie:AHR_WuV_Mathe_GK]]