Extremwert: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten <math>f(x)=x^2+x+1</math> mit <math>f'(x)=2x+1</math>, <math>f''(x)=2</math>.

'''1. Notwendige Bedingung:'''

#'''Notwendige Bedingung:''' <math>f'(x)=0</math> <math>2x+1=0 | -1</math> <math>2x=-1 | :2</math> <math>x=-0,5</math> <math>x_0=-0,5</math> kommt damit als Extremstelle in Frage.

#'''Hinreichende Bedingung:''' Da <math>f'\left(-1\right)=-1</math> und <math>f'\left(0\right)=1</math> gilt, schneidet <math>f'</math> die <math>x</math>-Achse bei <math>x_0=-0,5</math> und hat dort einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv. '''Alternativ''' gilt <math>f''\left(-0,5\right)=2>0</math>. Also besitzt der [[Graph]] von <math>f</math> einen Tiefpunkt bei <math>x_0=-0,5</math>.

#'''Extremwert berechnen:''' Setzen wir <math>x_0=-0,5</math> in <math>f</math> ein, erhalten wir <math>f(-0,5)=0,75</math>. Damit ist <math>T(-0,5|0,75)</math> der Tiefpunkt.

<math>x_0=-0,5</math> kommt damit als Extremstelle in Frage.

'''2. Hinreichende Bedingung:'''

Da <math>f'\left(-1\right)=-1</math> und <math>f'\left(0\right)=1</math> gilt, schneidet <math>f'</math> die <math>x</math>-Achse bei <math>x_0=-0,5</math> und hat dort einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv.

'''Alternativ''' gilt <math>f''\left(-0,5\right)=2>0</math>. Also besitzt der [[Graph]] von <math>f</math> einen Tiefpunkt bei <math>x_0=-0,5</math>.

'''3. Extremwert berechnen:'''

Setzen wir <math>x_0=-0,5</math> in <math>f</math> ein, erhalten wir <math>f(-0,5)=0,75</math>. Damit ist <math>T(-0,5|0,75)</math> der Tiefpunkt.

====Hochpunkt berechnen====

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Wir betrachten <math>g\left(x\right)=-x^2+x+1</math> mit <math>g'\left(x\right)=-2x+1</math>, <math>g''\left(x\right)=-2</math>.

'''1. Notwendige Bedingung:'''

#'''Notwendige Bedingung:''' <math>g'(x)=0</math> <math>-2x+1=0 | -1</math> <math>-2x=-1 | :(-2)</math> <math>x=0,5</math>

#'''Hinreichende Bedingung:''' Es gilt <math>g'(0)=1</math> und <math>g'(1)=-1</math>. <math>f'</math> hat also einen Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ. '''Alternativ''' gilt <math>g''(0,5)=-2<0</math>. Also besitzt der [[Graph]] von <math>g</math> einen Hochpunkt bei <math>x_0=0,5</math>.

#'''Extremwert berechnen:''' Damit ist <math>g(0,5)=1,25</math> ein Maximum und <math>H(0,5|1,25)</math> ein Hochpunkt.

'''2. Hinreichende Bedingung:'''

Es gilt <math>g'(0)=1</math> und <math>g'(1)=-1</math>. <math>f'</math> hat also einen Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ.

'''Alternativ''' gilt <math>g''(0,5)=-2<0</math>. Also besitzt der [[Graph]] von <math>g</math> einen Hochpunkt bei <math>x_0=0,5</math>.

'''3. Extremwert berechnen:'''

Damit ist <math>g(0,5)=1,25</math> ein Maximum und <math>H(0,5|1,25)</math> ein Hochpunkt.

====Graphische Erläuterung der Berechnungen====

<math>x_0=-0,5</math> ist [[Nullstelle]] von <math>f'</math> und Extremstelle von <math>f</math>. <math>f'</math> hat außerdem bei <math>x_0</math> einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv, das heißt der [[Graph]] zu <math>f</math> fällt vor <math>x_0</math> und steigt anschließend. Damit kann <math>f(x_0)</math> nur ein Minimum sein. Es gilt <math>f''(x_0)=2</math>, damit ist die Steigung von <math>f'</math> in <math>x_0</math> positiv. Da <math>x_0</math> [[Nullstelle]] von <math>f'</math> ist, muss <math>f'</math> bei <math>x_0</math> einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv haben.

~~[[Kategorie:Mathematik]]~~

[[Kategorie:Differentialrechnung]]

[[Kategorie:~~Fachabitur~~]]

[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

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 Wir betrachten <math>f(x)=x^2+x+1</math> mit <math>f'(x)=2x+1</math>, <math>f''(x)=2</math>.
-'''1. Notwendige Bedingung:'''
+#'''Notwendige Bedingung:''' <br> <math>f'(x)=0</math> <br> <math>2x+1=0 | -1</math> <br> <math>2x=-1 | :2</math> <br> <math>x=-0,5</math> <br> <math>x_0=-0,5</math> kommt damit als Extremstelle in Frage. <br>
+#'''Hinreichende Bedingung:''' <br>Da <math>f'\left(-1\right)=-1</math> und <math>f'\left(0\right)=1</math> gilt, schneidet <math>f'</math> die <math>x</math>-Achse bei <math>x_0=-0,5</math> und hat dort einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv.  <br> '''Alternativ''' gilt <math>f''\left(-0,5\right)=2>0</math>. Also besitzt der [[Graph]] von <math>f</math> einen Tiefpunkt bei <math>x_0=-0,5</math>.
-<math>f'(x)=0</math>
+#'''Extremwert berechnen:''' <br>Setzen wir <math>x_0=-0,5</math> in <math>f</math> ein, erhalten wir <math>f(-0,5)=0,75</math>. Damit ist <math>T(-0,5|0,75)</math> der Tiefpunkt.
-<math>2x+1=0 | -1</math>
-<math>2x=-1 | :2</math>
-<math>x=-0,5</math>
-<math>x_0=-0,5</math> kommt damit als Extremstelle in Frage.
-'''2. Hinreichende Bedingung:'''
-Da <math>f'\left(-1\right)=-1</math> und <math>f'\left(0\right)=1</math> gilt, schneidet <math>f'</math> die <math>x</math>-Achse bei <math>x_0=-0,5</math> und hat dort einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv.
-'''Alternativ''' gilt <math>f''\left(-0,5\right)=2>0</math>. Also besitzt der [[Graph]] von <math>f</math> einen Tiefpunkt bei <math>x_0=-0,5</math>.
-'''3. Extremwert berechnen:'''
-Setzen wir <math>x_0=-0,5</math> in <math>f</math> ein, erhalten wir <math>f(-0,5)=0,75</math>. Damit ist <math>T(-0,5|0,75)</math> der Tiefpunkt.
 ====Hochpunkt berechnen====
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 Wir betrachten <math>g\left(x\right)=-x^2+x+1</math> mit <math>g'\left(x\right)=-2x+1</math>, <math>g''\left(x\right)=-2</math>.
-'''1. Notwendige Bedingung:'''
+#'''Notwendige Bedingung:''' <br> <math>g'(x)=0</math> <br> <math>-2x+1=0 | -1</math> <br> <math>-2x=-1 | :(-2)</math> <br> <math>x=0,5</math>
+#'''Hinreichende Bedingung:''' <br> Es gilt <math>g'(0)=1</math> und <math>g'(1)=-1</math>. <math>f'</math> hat also einen Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ. <br> '''Alternativ''' gilt <math>g''(0,5)=-2<0</math>. Also besitzt der [[Graph]] von <math>g</math> einen Hochpunkt bei <math>x_0=0,5</math>.
-<math>g'(x)=0</math>
+#'''Extremwert berechnen:''' <br> Damit ist  <math>g(0,5)=1,25</math> ein Maximum und <math>H(0,5|1,25)</math> ein Hochpunkt.
-<math>-2x+1=0 | -1</math>
-<math>-2x=-1 | :(-2)</math>
-<math>x=0,5</math>
-'''2. Hinreichende Bedingung:'''
-Es gilt <math>g'(0)=1</math> und <math>g'(1)=-1</math>. <math>f'</math> hat also einen Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ.
-'''Alternativ''' gilt <math>g''(0,5)=-2<0</math>. Also besitzt der [[Graph]] von <math>g</math> einen Hochpunkt bei <math>x_0=0,5</math>.
-'''3. Extremwert berechnen:'''
-Damit ist  <math>g(0,5)=1,25</math> ein Maximum und <math>H(0,5|1,25)</math> ein Hochpunkt.
 ====Graphische Erläuterung der Berechnungen====
 <math>x_0=-0,5</math> ist [[Nullstelle]] von <math>f'</math> und Extremstelle von <math>f</math>. <math>f'</math> hat außerdem bei <math>x_0</math> einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv, das heißt der [[Graph]] zu <math>f</math> fällt vor <math>x_0</math> und steigt anschließend. Damit kann <math>f(x_0)</math> nur ein Minimum sein. Es gilt <math>f''(x_0)=2</math>, damit ist die Steigung von <math>f'</math> in <math>x_0</math> positiv. Da <math>x_0</math> [[Nullstelle]] von <math>f'</math> ist, muss <math>f'</math> bei <math>x_0</math> einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv haben.
-[[Kategorie:Mathematik]]
 [[Kategorie:Differentialrechnung]]
-[[Kategorie:Fachabitur]]
+[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]