Extremwert: Unterschied zwischen den Versionen

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==Extremwerte bestimmen==

Extremwerte lassen sich mit Hilfe der [[Ableitungsfunktion]] bestimmen. Dafür werden die folgenden Bedingungen verwendet und anschließend wird der Extremwert berechnet.

Extremwerte lassen sich mit Hilfe der [[Ableitungsfunktion]] bestimmen. Dafür werden die folgenden Bedingungen verwendet und anschließend wird der Extremwert berechnet. Im Folgenden sei <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f</math> [[Ableitungsfunktion#Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt|differenzierbar]] mit <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> und den [[Ableitungsfunktion#Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt|Ableitungsfunktionen]] <math>f'</math> und <math>f''</math>.

===Notwendige Bedingung für Extremstellen===

Für eine [[Funktion]] <math>f</math>, die an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> [[Ableitungsfunktion#Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt|differenzierbar]] ist, gilt:

Wenn der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt besitzt, dann ist <math>f'(x_0)=0</math>. D. h. <math>x_0</math> ist eine [[Nullstelle]] von <math>f'</math>.

Wenn der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0 ~~\in \mathbb{D}_f~~</math> einen Extrempunkt besitzt, dann ist <math>f'(x_0)=0</math>. D. h. <math>x_0</math> ist eine [[Nullstelle]] von <math>f'</math>.

===Hinreichende Bedingung für Extremstellen===

~~Für~~ eine [[Funktion]] <math>f</math> ~~mit~~ der [[~~Ableitungsfunktion~~#~~Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt~~|~~Ableitungsfunktion~~]] <math>f'</math> ~~in einem Intervall gilt:~~

Wenn <math>f'</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> eine [[Nullstelle]] hat und <math>f'</math> bei <math>x_0</math> die <math>x</math>-Achse schneidet, dann hat der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt. Wechselt die Steigung bei <math>x_0</math> von negativ zu positiv, liegt bei <math>x_0</math> ein Minimum vor. Wechselt die Steigung bei <math>x_0</math> von positiv zu negativ, liegt bei <math>x_0</math> ein Maximum vor. Diese Bedingung heißt '''Vorzeichenwechselkriterium'''.

Wenn <math>f'</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> eine [[Nullstelle]] hat und <math>f'</math> bei <math>x_0</math> die <math>x</math>-Achse schneidet, dann hat der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt.

~~Falls die zweite Ableitung~~ <math>f''</math> ~~existiert, so gilt~~:

'''Alternativ''' können wir <math>f''</math> verwenden:

Ist <math>f'(x_0)=0</math> und <math>f''(x_0)\neq0</math>, dann hat der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt. Gilt <math>f''(x_0)>0</math> liegt ein Minimum vor. Gilt <math>f''(x_0)<0</math> liegt ein Maximum vor.

===Extremwert berechnen===

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====Tiefpunkt berechnen====

[[Datei:DifferentialrechnungBeispielfAbl.png|mini|[[Graph|Graphen]] von <math>f,f',f''</math>]]

Wir betrachten ~~wieder~~ <math>f(x)=x^2+x+1</math> ~~und ändern <math>g</math> zu <math>g\left(x\right)=-x^2+x+1</math>. Für die Ableitungen gilt~~ <math>f'(x)=2x+1</math>, <math>f''(x)=~~2</math> und <math>g'\left(x\right)=-2x+1</math>, <math>g''\left(x\right)=-~~2</math>.

Wir betrachten <math>f(x)=x^2+x+1</math> mit <math>f'(x)=2x+1</math>, <math>f''(x)=2</math>.

'''1. Notwendige Bedingung:'''

#'''Notwendige Bedingung:''' <math>f'(x)=0</math> <math>2x+1=0 | -1</math> <math>2x=-1 | :2</math> <math>x=-0,5</math> <math>x_0=-0,5</math> kommt damit als Extremstelle in Frage.

#'''Hinreichende Bedingung:''' Da <math>f'\left(-1\right)=-1</math> und <math>f'\left(0\right)=1</math> gilt, schneidet <math>f'</math> die <math>x</math>-Achse bei <math>x_0=-0,5</math> und hat dort einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv. '''Alternativ''' gilt <math>f''\left(-0,5\right)=2>0</math>. Also besitzt der [[Graph]] von <math>f</math> einen Tiefpunkt bei <math>x_0=-0,5</math>.

#'''Extremwert berechnen:''' Setzen wir <math>x_0=-0,5</math> in <math>f</math> ein, erhalten wir <math>f(-0,5)=0,75</math>. Damit ist <math>T(-0,5|0,75)</math> der Tiefpunkt.

<math>x_0=-0,5</math> kommt damit als Extremstelle in Frage.

'''2. Hinreichende Bedingung:'''

Da <math>f'\left(-1\right)=-1</math> und <math>f'\left(0\right)=1</math> gilt, schneidet <math>f'</math> die <math>x</math>-Achse bei <math>x_0=-0,5</math> und hat dort einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv.

Alternativ gilt <math>f''\left(-0,5\right)=2>0</math>. Also besitzt der [[Graph]] von <math>f</math> einen Tiefpunkt bei <math>x_0=-0,5</math>.

'''3. Extremwert berechnen:'''

Setzen wir <math>x_0=-0,5</math> in <math>f</math> ein, erhalten wir <math>f(-0,5)=0,75</math>. Damit ist <math>T(-0,5|0,75)</math> der Tiefpunkt.

====Hochpunkt berechnen====

[[Datei:DifferentialrechnungBeispielgAbl.png|mini|[[Graph|Graphen]] von <math>g, g', g''</math>]]

~~Für~~ <math>g~~</math> gehen wir analog vor. Es gilt~~

Wir betrachten <math>g\left(x\right)=-x^2+x+1</math> mit <math>g'\left(x\right)=-2x+1</math>, <math>g''\left(x\right)=-2</math>.

~~'''1. Notwendige Bedingung:'''~~

~~<math>-2x+1~~=~~0 | -1</math>~~

~~<math>-2x=-1 | :(~~-2~~)</math>~~

~~<math>~~x~~=0,5</math>~~

~~'''2. Hinreichende Bedingung:'''~~

~~Es gilt <math>g'(0)=~~1</math> ~~und~~ <math>g'(1)=-1</math>~~. <math>f'</math> hat also einen Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ.~~

~~Alternativ gilt~~ <math>g''(~~0,5~~)=-2~~<0</math>. Also besitzt der [[Graph]] von <math>g</math> einen Hochpunkt bei <math>x_0=0,5~~</math>.

~~'''3. Extremwert berechnen:'''~~

Damit ist <math>g(0,5)=1,25</math> ein Maximum und <math>H(0,5|1,25)</math> ein Hochpunkt.

#'''Notwendige Bedingung:''' <math>g'(x)=0</math> <math>-2x+1=0 | -1</math> <math>-2x=-1 | :(-2)</math> <math>x=0,5</math>

#'''Hinreichende Bedingung:''' Es gilt <math>g'(0)=1</math> und <math>g'(1)=-1</math>. <math>f'</math> hat also einen Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ. '''Alternativ''' gilt <math>g''(0,5)=-2<0</math>. Also besitzt der [[Graph]] von <math>g</math> einen Hochpunkt bei <math>x_0=0,5</math>.

#'''Extremwert berechnen:''' Damit ist <math>g(0,5)=1,25</math> ein Maximum und <math>H(0,5|1,25)</math> ein Hochpunkt.

====Graphische Erläuterung der ~~Bedingungen~~====

====Graphische Erläuterung der Berechnungen====

<math>x_0=-0,5</math> ist [[Nullstelle]] von <math>f'</math> und Extremstelle von <math>f</math>. <math>f'</math> hat außerdem bei <math>x_0</math> einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv, das heißt der [[Graph]] zu <math>f</math> fällt vor <math>x_0</math> und steigt anschließend. Damit kann <math>f(x_0)</math> nur ein Minimum sein. Es gilt <math>f''(x_0)=2</math>, damit ist die Steigung von <math>f'</math> in <math>x_0</math> positiv. Da <math>x_0</math> [[Nullstelle]] von <math>f'</math> ist, muss <math>f'</math> bei <math>x_0</math> einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv haben.

~~[[Kategorie:Mathematik]]~~

[[Kategorie:Differentialrechnung]]

[[Kategorie:~~Fachabitur~~]]

[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

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 ==Extremwerte bestimmen==
-Extremwerte lassen sich mit Hilfe der [[Ableitungsfunktion]] bestimmen. Dafür werden die folgenden Bedingungen verwendet und anschließend wird der Extremwert berechnet.
+Extremwerte lassen sich mit Hilfe der [[Ableitungsfunktion]] bestimmen. Dafür werden die folgenden Bedingungen verwendet und anschließend wird der Extremwert berechnet. Im Folgenden sei <math>f:\mathbb{D}_f \rightarrow \mathbb{W}_f</math> [[Ableitungsfunktion#Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt|differenzierbar]] mit <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> und den [[Ableitungsfunktion#Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt|Ableitungsfunktionen]] <math>f'</math> und <math>f''</math>.
 ===Notwendige Bedingung für Extremstellen===
-Für eine [[Funktion]] <math>f</math>, die an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> [[Ableitungsfunktion#Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt|differenzierbar]] ist, gilt:
+Wenn der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt besitzt, dann ist <math>f'(x_0)=0</math>. D. h. <math>x_0</math> ist eine [[Nullstelle]] von <math>f'</math>.
-Wenn der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> einen Extrempunkt besitzt, dann ist <math>f'(x_0)=0</math>. D. h. <math>x_0</math> ist eine [[Nullstelle]] von <math>f'</math>.
 ===Hinreichende Bedingung für Extremstellen===
-Für eine [[Funktion]] <math>f</math> mit der [[Ableitungsfunktion#Ableitung_und_Steigung_in_einem_Punkt|Ableitungsfunktion]] <math>f'</math> in einem Intervall gilt:
+Wenn <math>f'</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> eine [[Nullstelle]] hat und <math>f'</math> bei <math>x_0</math> die <math>x</math>-Achse schneidet, dann hat der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt. Wechselt die Steigung bei <math>x_0</math> von negativ zu positiv, liegt bei <math>x_0</math> ein Minimum vor. Wechselt die Steigung bei <math>x_0</math> von positiv zu negativ, liegt bei <math>x_0</math> ein Maximum vor. Diese Bedingung heißt '''Vorzeichenwechselkriterium'''.
-Wenn <math>f'</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0 \in \mathbb{D}_f</math> eine [[Nullstelle]] hat und <math>f'</math> bei <math>x_0</math> die <math>x</math>-Achse schneidet, dann hat der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt.
-Falls die zweite Ableitung <math>f''</math> existiert, so gilt:
+'''Alternativ''' können wir <math>f''</math> verwenden:
-Ist <math>f'(x_0)=0</math> und <math>f''(x_0)\neq0</math>, dann hat der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt. Gilt <math>f''(x_0)>0</math> liegt ein Minimum vor. Gilt <math>f''(x_0)<0</math>  liegt ein Maximum vor.
+Ist <math>f'(x_0)=0</math> und <math>f''(x_0)\neq0</math>, dann hat der [[Graph]] der [[Funktion]] <math>f</math> an der [[Funktion#Definition|Stelle]] <math>x_0</math> einen Extrempunkt. Gilt <math>f''(x_0)>0</math> liegt ein Minimum vor. Gilt <math>f''(x_0)<0</math> liegt ein Maximum vor.
 ===Extremwert berechnen===
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 ====Tiefpunkt berechnen====
 [[Datei:DifferentialrechnungBeispielfAbl.png|mini|[[Graph|Graphen]] von <math>f,f',f''</math>]]
-Wir betrachten wieder <math>f(x)=x^2+x+1</math> und ändern <math>g</math> zu <math>g\left(x\right)=-x^2+x+1</math>. Für die Ableitungen gilt <math>f'(x)=2x+1</math>, <math>f''(x)=2</math> und <math>g'\left(x\right)=-2x+1</math>, <math>g''\left(x\right)=-2</math>.
+Wir betrachten <math>f(x)=x^2+x+1</math> mit <math>f'(x)=2x+1</math>, <math>f''(x)=2</math>.
-'''1. Notwendige Bedingung:'''
+#'''Notwendige Bedingung:''' <br> <math>f'(x)=0</math> <br> <math>2x+1=0 | -1</math> <br> <math>2x=-1 | :2</math> <br> <math>x=-0,5</math> <br> <math>x_0=-0,5</math> kommt damit als Extremstelle in Frage. <br>
+#'''Hinreichende Bedingung:''' <br>Da <math>f'\left(-1\right)=-1</math> und <math>f'\left(0\right)=1</math> gilt, schneidet <math>f'</math> die <math>x</math>-Achse bei <math>x_0=-0,5</math> und hat dort einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv.  <br> '''Alternativ''' gilt <math>f''\left(-0,5\right)=2>0</math>. Also besitzt der [[Graph]] von <math>f</math> einen Tiefpunkt bei <math>x_0=-0,5</math>.
-<math>2x+1=0 | -1</math>
+#'''Extremwert berechnen:''' <br>Setzen wir <math>x_0=-0,5</math> in <math>f</math> ein, erhalten wir <math>f(-0,5)=0,75</math>. Damit ist <math>T(-0,5|0,75)</math> der Tiefpunkt.
-<math>2x=-1 | :2</math>
-<math>x=-0,5</math>
-<math>x_0=-0,5</math> kommt damit als Extremstelle in Frage.
-'''2. Hinreichende Bedingung:'''
-Da <math>f'\left(-1\right)=-1</math> und <math>f'\left(0\right)=1</math> gilt, schneidet <math>f'</math> die <math>x</math>-Achse bei <math>x_0=-0,5</math> und hat dort einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv.
-Alternativ gilt <math>f''\left(-0,5\right)=2>0</math>. Also besitzt der [[Graph]] von <math>f</math> einen Tiefpunkt bei <math>x_0=-0,5</math>.
-'''3. Extremwert berechnen:'''
-Setzen wir <math>x_0=-0,5</math> in <math>f</math> ein, erhalten wir <math>f(-0,5)=0,75</math>. Damit ist <math>T(-0,5|0,75)</math> der Tiefpunkt.
 ====Hochpunkt berechnen====
 [[Datei:DifferentialrechnungBeispielgAbl.png|mini|[[Graph|Graphen]] von <math>g, g', g''</math>]]
-Für <math>g</math> gehen wir analog vor. Es gilt
+Wir betrachten <math>g\left(x\right)=-x^2+x+1</math> mit <math>g'\left(x\right)=-2x+1</math>, <math>g''\left(x\right)=-2</math>.
-'''1. Notwendige Bedingung:'''
-<math>-2x+1=0 | -1</math>
-<math>-2x=-1 | :(-2)</math>
-<math>x=0,5</math>
-'''2. Hinreichende Bedingung:'''
-Es gilt <math>g'(0)=1</math> und <math>g'(1)=-1</math>. <math>f'</math> hat also einen Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ.
-Alternativ gilt <math>g''(0,5)=-2<0</math>. Also besitzt der [[Graph]] von <math>g</math> einen Hochpunkt bei <math>x_0=0,5</math>.
-'''3. Extremwert berechnen:'''
-Damit ist  <math>g(0,5)=1,25</math> ein Maximum und <math>H(0,5|1,25)</math> ein Hochpunkt.
+#'''Notwendige Bedingung:''' <br> <math>g'(x)=0</math> <br> <math>-2x+1=0 | -1</math> <br> <math>-2x=-1 | :(-2)</math> <br> <math>x=0,5</math>
+#'''Hinreichende Bedingung:''' <br> Es gilt <math>g'(0)=1</math> und <math>g'(1)=-1</math>. <math>f'</math> hat also einen Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ. <br> '''Alternativ''' gilt <math>g''(0,5)=-2<0</math>. Also besitzt der [[Graph]] von <math>g</math> einen Hochpunkt bei <math>x_0=0,5</math>.
+#'''Extremwert berechnen:''' <br> Damit ist  <math>g(0,5)=1,25</math> ein Maximum und <math>H(0,5|1,25)</math> ein Hochpunkt.
-====Graphische Erläuterung der Bedingungen====
+====Graphische Erläuterung der Berechnungen====
 <math>x_0=-0,5</math> ist [[Nullstelle]] von <math>f'</math> und Extremstelle von <math>f</math>. <math>f'</math> hat außerdem bei <math>x_0</math> einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv, das heißt der [[Graph]] zu <math>f</math> fällt vor <math>x_0</math> und steigt anschließend. Damit kann <math>f(x_0)</math> nur ein Minimum sein. Es gilt <math>f''(x_0)=2</math>, damit ist die Steigung von <math>f'</math> in <math>x_0</math> positiv. Da <math>x_0</math> [[Nullstelle]] von <math>f'</math> ist, muss <math>f'</math> bei <math>x_0</math> einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv haben.
-[[Kategorie:Mathematik]]
 [[Kategorie:Differentialrechnung]]
-[[Kategorie:Fachabitur]]
+[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]