Quadratische Funktion: Unterschied zwischen den Versionen

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==Definition==

Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=ax^2+bx+c</math> mit <math>a\~~neq0~~</math> heißt '''quadratische Funktion''' in '''Normalform''', ihr [[Graph]] heißt '''Parabel'''. <math>a</math> heißt '''Streckungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|>1</math> gilt und '''Stauchungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|<1</math> gilt.

Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=ax^2+bx+c</math> mit <math>a,~b,~c \in \mathbb{R},~a \neq 0</math> heißt '''quadratische Funktion''' in '''Normalform''', ihr [[Graph]] heißt '''Parabel'''. <math>a</math> heißt '''Streckungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|>1</math> gilt und '''Stauchungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|<1</math> gilt. <math>c</math> ist der '''y-Achsenabschnitt'''.

Für <math>a>0</math> ist die Parabel nach '''oben geöffnet''', für <math>a<0</math> ist die Parabel nach '''unten geöffnet'''. Der tiefste bzw. höchster Punkt heißt '''Scheitelpunkt''' oder '''Scheitel S'''. Der Graph von <math>f(x)=x^2</math> heißt '''Normalparabel'''.

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Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0|-7)</math>.

===Schnittpunkte von ~~Parabel und Gerade~~ berechnen===

===Schnittpunkte von Parabeln berechnen===

Wir betrachten im Folgenden die drei Fälle für Schnittpunkte von Parabel und Gerade.

Wir betrachten im Folgenden die drei Fälle für Schnittpunkte von Parabel und Gerade sowie den Fall, dass zwei Parabeln sich nicht schneiden.

====Parabel und Gerade haben keinen Schnittpunkt====

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Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x-1</math>. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen

Zeile 74:

Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x-0,5</math>. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen

Zeile 93:

Zeile 107:

Die y-Werte berechnen wir durch <math>g\left(-1\right)=-2\cdot\left(-1\right)=2</math> und <math>g\left(-2\right)=-2\cdot\left(-2\right)=4</math>. Die Schnittpunkte sind damit <math>A(-1|2)</math> und <math>B(-2|4)</math>.

===Zwei Parabeln ohne Schnittpunkt===

====Zwei Parabeln ohne Schnittpunkt====

[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielParaOhneSchnitt.png|mini|Graphen der Funktionen <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>{h\left(x\right)=-3x}^2-2x+1</math> ohne Schnittpunkt]]

Betrachten wir zwei Parabeln, treten die gleichen drei Fälle wie oben auf. Wir betrachten hier nur den Fall, bei dem die Parabeln keine Schnittpunkte haben.

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[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

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 ==Definition==
-Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=ax^2+bx+c</math> mit <math>a\neq0</math> heißt '''quadratische Funktion''' in '''Normalform''', ihr [[Graph]] heißt '''Parabel'''. <math>a</math> heißt '''Streckungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|>1</math> gilt und '''Stauchungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|<1</math> gilt.
+Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=ax^2+bx+c</math> mit <math>a,~b,~c \in \mathbb{R},~a \neq 0</math> heißt '''quadratische Funktion''' in '''Normalform''', ihr [[Graph]] heißt '''Parabel'''. <math>a</math> heißt '''Streckungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|>1</math> gilt und '''Stauchungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|<1</math> gilt. <math>c</math> ist der '''y-Achsenabschnitt'''.
 Für <math>a>0</math> ist die Parabel nach '''oben geöffnet''', für <math>a<0</math> ist die Parabel nach '''unten geöffnet'''. Der tiefste bzw. höchster Punkt heißt '''Scheitelpunkt''' oder '''Scheitel S'''. Der Graph von <math>f(x)=x^2</math> heißt '''Normalparabel'''.
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 Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0|-7)</math>.
-===Schnittpunkte von Parabel und Gerade berechnen===
+===Schnittpunkte von Parabeln berechnen===
-Wir betrachten im Folgenden die drei Fälle für Schnittpunkte von Parabel und Gerade.
+Wir betrachten im Folgenden die drei Fälle für Schnittpunkte von Parabel und Gerade sowie den Fall, dass zwei Parabeln sich nicht schneiden.
 ====Parabel und Gerade haben keinen Schnittpunkt====
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 Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x-1</math>. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen
-<math>{2x}^2+4x+4=-2x-1\ |+1</math>
+<math>{2x}^2+4x+4=-2x-1~|~+1</math>
-<math>{2x}^2+4x+5=-2x\ |+2x</math>
+<math>{2x}^2+4x+5=-2x~|~+2x</math>
-<math>{2x}^2+6x+5=0\ |\div2</math>
+<math>{2x}^2+6x+5=0~|~:2</math>
 <math>x^2+3x+2,5=0</math>
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 Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und  <math>g\left(x\right)=-2x-0,5</math>. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen
-<math>{2x}^2+4x+4=-2x-0,5\ |+0,5</math>
+<math>{2x}^2+4x+4=-2x-0,5~|~+0,5</math>
-<math>{2x}^2+4x+4,5=-2x\ |+2x</math>
+<math>{2x}^2+4x+4,5=-2x~|~+2x</math>
-<math>{2x}^2+6x+4,5=0\ |\div2</math>
+<math>{2x}^2+6x+4,5=0~|~:2</math>
 <math>x^2+3x+2,25=0</math>
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 <math>{2x}^2+4x+4=-2x\ |+2x</math>
-<math>{2x}^2+6x+4=0\ |\div2</math>
+<math>{2x}^2+6x+4=0~|~:2</math>
 <math>x^2+3x+2=0</math>
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 Die y-Werte berechnen wir durch <math>g\left(-1\right)=-2\cdot\left(-1\right)=2</math> und <math>g\left(-2\right)=-2\cdot\left(-2\right)=4</math>. Die Schnittpunkte sind damit <math>A(-1|2)</math> und <math>B(-2|4)</math>.
-===Zwei Parabeln ohne Schnittpunkt===
+====Zwei Parabeln ohne Schnittpunkt====
 [[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielParaOhneSchnitt.png|mini|Graphen der Funktionen <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>{h\left(x\right)=-3x}^2-2x+1</math> ohne Schnittpunkt]]
 Betrachten wir zwei Parabeln, treten die gleichen drei Fälle wie oben auf. Wir betrachten hier nur den Fall, bei dem die Parabeln keine Schnittpunkte haben.
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 <math>h(x)=f(x)</math>
-<math>-3x^2-2x+1=2x^2+4x+4\ |-2x^2</math>
+<math>-3x^2-2x+1=2x^2+4x+4~|~-2x^2</math>
-<math>{-5x}^2-2x+1=4x+4\ |-4x</math>
+<math>{-5x}^2-2x+1=4x+4~|~-4x</math>
-<math>{-5x}^2-6x+1=4\ |-4</math>
+<math>{-5x}^2-6x+1=4~|~-4</math>
-<math>{-5x}^2-6x-3=0\ |\div(-5)</math>
+<math>{-5x}^2-6x-3=0~|~:(-5)</math>
 <math>x^2+1,2x+0,6=0</math>
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 <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/FAqb0Ld_4Do?si=NaHcBx5HFGIFgCcf" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
+[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
+[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]