Quadratische Funktion: Unterschied zwischen den Versionen

(10 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)

Zeile 2:

==Definition==

Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=ax^2+bx+c</math> mit <math>a\~~neq0~~</math> heißt '''quadratische Funktion''' in '''Normalform''', ihr [[Graph]] heißt '''Parabel'''. <math>a</math> heißt '''Streckungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|>1</math> gilt und '''Stauchungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|<1</math> gilt.

Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=ax^2+bx+c</math> mit <math>a,~b,~c \in \mathbb{R},~a \neq 0</math> heißt '''quadratische Funktion''' in '''Normalform''', ihr [[Graph]] heißt '''Parabel'''. <math>a</math> heißt '''Streckungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|>1</math> gilt und '''Stauchungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|<1</math> gilt. <math>c</math> ist der '''y-Achsenabschnitt'''.

Für <math>a>0</math> ist die Parabel nach '''oben geöffnet''', für <math>a<0</math> ist die Parabel nach '''unten geöffnet'''. Der tiefste bzw. höchster Punkt heißt '''Scheitelpunkt''' oder '''Scheitel S'''. Der Graph von <math>f(x)=x^2</math> heißt '''Normalparabel'''.

==Nullstellenform==

Eine Funktion der Form <math>f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)</math> heißt quadratische Funktion in '''Nullstellenform'''. Die [[Nullstelle|Nullstellen]] sind <math>x_1</math> und <math>x_2</math>.

==Scheitelpunktform==

Eine Funktion der Form <math>f(x)=a(x-e)^2+f</math> mit <math>a\neq0</math> heißt quadratische Funktion in '''Scheitelpunktform'''. Der Scheitelpunkt ist <math>S(e|f)</math>. Der Faktor <math>a</math> ist in der Scheitelpunktform und der Normalform der Gleiche.

==Schnittpunkte von Parabeln und Geraden berechnen==

Sind eine lineare Funktion <math>y=mx+b</math> und eine quadratische Funktion <math>y=ax^2+bx+c</math> gegeben, kann die Schnittstelle durch Gleichsetzen, <math>ax^2+bx+c=mx+b\ </math>, und Umformen nach x errechnet werden. Wurde so umgeformt, dass auf einer Seite eine 0 steht, kann die p-q-Formel angewendet werden und wir erhalten die Schnittstellen. Anschließend werden die dazugehörigen y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in die quadratische oder lineare Funktion berechnet. Für zwei quadratische Funktionen oder lineare Funktionen ist das Vorgehen analog.

==Beispiele==

Zeile 27:

Zeile 36:

==~~Scheitelpunktform~~==

===Scheitelpunktsform in Normalform überführen===

~~Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)~~=a({x-e)}^2+f</math> mit <math>a\neq0</math> heißt quadratische Funktion in '''Scheitelpunktform'''. Der Scheitelpunkt ist <math>S(e|f)</math>. Der Faktor <math>a</math> ist in der Scheitelpunktform und der Normalform der Gleiche.

[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktScheitelpf.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=-2(x-2)^2+1</math>]]

Wir betrachten die Funktion <math>f\left(x\right)=-2(x-2)^2+1</math>. Der Scheitelpunkt ist dann <math>S(2|1)</math>. Man kann die rechte Seite der Funktionsvorschrift weiter auflösen, um von der Scheitelpunktform zur Normalform zu kommen:

[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktScheitelpf.png|mini|Graph der Funktion <math>f~~\left~~(x~~\right~~)=-2({x-2)}^2+1</math>]]

~~===Beispiel===~~

Wir betrachten die Funktion <math>f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1</math>. Der Scheitelpunkt ist dann <math>S(2|1)</math>. Man kann die rechte Seite der ~~Funktion~~ weiter auflösen, um von der Scheitelpunktform zur Normalform zu kommen:

<math>f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1</math>

Zeile 42:

Zeile 48:

<math>f\left(x\right)=-2x^2+8x-7</math>

~~Der Graph der Funktion ist auf der rechten Seite aufgelistet.~~ Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0|-7)</math>.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0|-7)</math>.

~~==Schnittpunkte von Parabeln und Geraden berechnen==~~

Sind eine lineare Funktion <math>y=mx+b</math> und eine quadratische Funktion <math>y=ax^2+bx+c</math> gegeben, kann die Schnittstelle durch Gleichsetzen, <math>ax^2+bx+c=mx+b\ </math>, und Umformen nach x errechnet werden. Wurde so umgeformt, dass auf einer Seite eine 0 steht, kann die p-q-Formel angwendet werden und wir erhalten die Schnittstellen. Anschließend werden die dazugehörigen y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in die quadratische oder lineare Funktion berechnet. Für zwei quadratische Funktionen oder lineare Funktionen ist das Vorgehen analog.

===~~Beispiele~~ Schnittpunkte von ~~Parabel und Gerade~~===

===Schnittpunkte von Parabeln berechnen===

Wir betrachten im Folgenden die drei Fälle für Schnittpunkte von Parabel und Gerade.

Wir betrachten im Folgenden die drei Fälle für Schnittpunkte von Parabel und Gerade sowie den Fall, dass zwei Parabeln sich nicht schneiden.

====Parabel und Gerade haben keinen Schnittpunkt====

Zeile 56:

Zeile 57:

Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x-1</math>. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen

Zeile 73:

Zeile 74:

Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x-0,5</math>. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen

Zeile 92:

Zeile 93:

Zeile 114:

Zeile 115:

Zeile 133:

Zeile 134:

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 ==Definition==
-Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=ax^2+bx+c</math> mit <math>a\neq0</math> heißt '''quadratische Funktion''' in '''Normalform''', ihr [[Graph]] heißt '''Parabel'''. <math>a</math> heißt '''Streckungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|>1</math> gilt und '''Stauchungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|<1</math> gilt.
+Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=ax^2+bx+c</math> mit <math>a,~b,~c \in \mathbb{R},~a \neq 0</math> heißt '''quadratische Funktion''' in '''Normalform''', ihr [[Graph]] heißt '''Parabel'''. <math>a</math> heißt '''Streckungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|>1</math> gilt und '''Stauchungsfaktor''', wenn für den [[Betragsfunktion|Betrag]] <math>|a|<1</math> gilt. <math>c</math> ist der '''y-Achsenabschnitt'''.
 Für <math>a>0</math> ist die Parabel nach '''oben geöffnet''', für <math>a<0</math> ist die Parabel nach '''unten geöffnet'''. Der tiefste bzw. höchster Punkt heißt '''Scheitelpunkt''' oder '''Scheitel S'''. Der Graph von <math>f(x)=x^2</math> heißt '''Normalparabel'''.
+==Nullstellenform==
+Eine Funktion der Form <math>f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)</math> heißt quadratische Funktion in '''Nullstellenform'''. Die [[Nullstelle|Nullstellen]] sind <math>x_1</math> und <math>x_2</math>.
+==Scheitelpunktform==
+Eine Funktion der Form <math>f(x)=a(x-e)^2+f</math> mit <math>a\neq0</math> heißt quadratische Funktion in '''Scheitelpunktform'''. Der Scheitelpunkt ist <math>S(e|f)</math>. Der Faktor <math>a</math> ist in der Scheitelpunktform und der Normalform der Gleiche.
+==Schnittpunkte von Parabeln und Geraden berechnen==
+Sind eine lineare Funktion <math>y=mx+b</math> und eine quadratische Funktion <math>y=ax^2+bx+c</math> gegeben, kann die Schnittstelle durch Gleichsetzen, <math>ax^2+bx+c=mx+b\ </math>, und Umformen nach x errechnet werden. Wurde so umgeformt, dass auf einer Seite eine 0 steht, kann die p-q-Formel angewendet werden und wir erhalten die Schnittstellen. Anschließend werden die dazugehörigen y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in die quadratische oder lineare Funktion berechnet. Für zwei quadratische Funktionen oder lineare Funktionen ist das Vorgehen analog.
 ==Beispiele==
@@ Zeile 27: / Zeile 36: @@
 <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/u0oN0VTA9Uo?si=bBxM4O5loope1XEI" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
-==Scheitelpunktform==
+===Scheitelpunktsform in Normalform überführen===
-Eine Funktion der Form <math>f\left(x\right)=a({x-e)}^2+f</math> mit <math>a\neq0</math> heißt quadratische Funktion in '''Scheitelpunktform'''. Der Scheitelpunkt ist <math>S(e|f)</math>. Der Faktor <math>a</math> ist in der Scheitelpunktform und der Normalform der Gleiche.
+[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktScheitelpf.png|mini|Graph der Funktion <math>f(x)=-2(x-2)^2+1</math>]]
+Wir betrachten die Funktion <math>f\left(x\right)=-2(x-2)^2+1</math>. Der Scheitelpunkt ist dann <math>S(2|1)</math>. Man kann die rechte Seite der Funktionsvorschrift weiter auflösen, um von der Scheitelpunktform zur Normalform zu kommen:
-[[Datei:QuadratischeFunktionenBeispielQuadFktScheitelpf.png|mini|Graph der Funktion <math>f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1</math>]]
-===Beispiel===
-Wir betrachten die Funktion <math>f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1</math>. Der Scheitelpunkt ist dann <math>S(2|1)</math>. Man kann die rechte Seite der Funktion weiter auflösen, um von der Scheitelpunktform zur Normalform zu kommen:
 <math>f\left(x\right)=-2({x-2)}^2+1</math>
@@ Zeile 42: / Zeile 48: @@
 <math>f\left(x\right)=-2x^2+8x-7</math>
-Der Graph der Funktion ist auf der rechten Seite aufgelistet. Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0|-7)</math>.
+Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist <math>(0|-7)</math>.
-==Schnittpunkte von Parabeln und Geraden berechnen==
-Sind eine lineare Funktion <math>y=mx+b</math> und eine quadratische Funktion <math>y=ax^2+bx+c</math> gegeben, kann die Schnittstelle durch Gleichsetzen, <math>ax^2+bx+c=mx+b\ </math>, und Umformen nach x errechnet werden. Wurde so umgeformt, dass auf einer Seite eine 0 steht, kann die p-q-Formel angwendet werden und wir erhalten die Schnittstellen. Anschließend werden die dazugehörigen y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in die quadratische oder lineare Funktion berechnet. Für zwei quadratische Funktionen oder lineare Funktionen ist das Vorgehen analog.
-===Beispiele Schnittpunkte von Parabel und Gerade===
+===Schnittpunkte von Parabeln berechnen===
-Wir betrachten im Folgenden die drei Fälle für Schnittpunkte von Parabel und Gerade.
+Wir betrachten im Folgenden die drei Fälle für Schnittpunkte von Parabel und Gerade sowie den Fall, dass zwei Parabeln sich nicht schneiden.
 ====Parabel und Gerade haben keinen Schnittpunkt====
@@ Zeile 56: / Zeile 57: @@
 Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und <math>g\left(x\right)=-2x-1</math>. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen
-<math>{2x}^2+4x+4=-2x-1\ |+1</math>
+<math>{2x}^2+4x+4=-2x-1~|~+1</math>
-<math>{2x}^2+4x+5=-2x\ |+2x</math>
+<math>{2x}^2+4x+5=-2x~|~+2x</math>
-<math>{2x}^2+6x+5=0\ |\div2</math>
+<math>{2x}^2+6x+5=0~|~:2</math>
 <math>x^2+3x+2,5=0</math>
@@ Zeile 73: / Zeile 74: @@
 Wir betrachten <math>{f\left(x\right)=2x}^2+4x+4</math> und  <math>g\left(x\right)=-2x-0,5</math>. Wir setzen die Funktionen gleich und rechnen
-<math>{2x}^2+4x+4=-2x-0,5\ |+0,5</math>
+<math>{2x}^2+4x+4=-2x-0,5~|~+0,5</math>
-<math>{2x}^2+4x+4,5=-2x\ |+2x</math>
+<math>{2x}^2+4x+4,5=-2x~|~+2x</math>
-<math>{2x}^2+6x+4,5=0\ |\div2</math>
+<math>{2x}^2+6x+4,5=0~|~:2</math>
 <math>x^2+3x+2,25=0</math>
@@ Zeile 92: / Zeile 93: @@
 <math>{2x}^2+4x+4=-2x\ |+2x</math>
-<math>{2x}^2+6x+4=0\ |\div2</math>
+<math>{2x}^2+6x+4=0~|~:2</math>
 <math>x^2+3x+2=0</math>
@@ Zeile 114: / Zeile 115: @@
 <math>h(x)=f(x)</math>
-<math>-3x^2-2x+1=2x^2+4x+4\ |-2x^2</math>
+<math>-3x^2-2x+1=2x^2+4x+4~|~-2x^2</math>
-<math>{-5x}^2-2x+1=4x+4\ |-4x</math>
+<math>{-5x}^2-2x+1=4x+4~|~-4x</math>
-<math>{-5x}^2-6x+1=4\ |-4</math>
+<math>{-5x}^2-6x+1=4~|~-4</math>
-<math>{-5x}^2-6x-3=0\ |\div(-5)</math>
+<math>{-5x}^2-6x-3=0~|~:(-5)</math>
 <math>x^2+1,2x+0,6=0</math>
@@ Zeile 133: / Zeile 134: @@
 <html><iframe width="280" height="157.5" src="https://www.youtube.com/embed/FAqb0Ld_4Do?si=NaHcBx5HFGIFgCcf" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe></html>
+[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
+[[Kategorie:FHR_WuV_Mathe]]